📌 導讀：控制系統 = 時間語言 → 複頻率語言
控制系統的核心任務：
👉 讓輸出 y(t) 追蹤目標 r(t)
👉 在干擾下仍能穩定
👉 同時兼顧暫態與穩態性能
若直接在時間域解微分方程，通常困難且不直觀，因此工程師使用轉換方法作為分析語言。
🧠 一、拉普拉斯轉換：控制分析的核心平台
常見時間域模型：
τ·dy/dt + y = K·u(t)
拉普拉斯轉換後：
(τ·s + 1)·Y(s) = K·U(s)
微分 → 代數乘法
分析變得簡單。
🔹 傳遞函數
H(s) = Y(s) / U(s)
H(s) = K / (τ·s + 1)
🔹 拉普拉斯定義
X(s) = ∫₀^∞ x(t)·e^(−s·t) dt
🧠 二、極點與穩定性直覺
若 H(s) 的極點為 sᵢ：
✔ Re(sᵢ) < 0 → 穩定
✔ Re(sᵢ) > 0 → 不穩定
✔ Re(sᵢ) = 0 → 臨界穩定
控制設計本質：
👉 移動極點到左半平面
🧠 三、頻率響應與傅立葉觀點
令 s = j·ω：
H(j·ω) = K / (1 + j·τ·ω)
幅值：
|H(j·ω)| = K / √(1 + (τ·ω)²)
相位：
φ(ω) = −tan⁻¹(τ·ω)
這描述：
👉 系統如何處理不同頻率輸入
🧠 四、頻域在控制設計的用途
✔ 判斷是否放大高頻雜訊
✔ 設計低通、高通、補償器
✔ 建立波特圖
✔ 評估增益邊距、相位邊距
🧠 五、Z 轉換：數位控制系統
離散訊號：
x[n]
Z 轉換：
X(z) = Σ x[n]·z^(−n)
用途：
✔ 差分方程 → 代數式
✔ 分析離散極點
✔ 判斷穩定性
離散穩定條件：
所有極點 |z| < 1
🧠 六、三種轉換的角色對照
時域 → 看時間反應
s 域 → 看穩定性與結構
頻域 → 看頻率選擇性
z 域 → 看離散系統行為
📌 一句話總結
轉換方法 = 把時間動態翻譯成工程師可操作的語言。
🧮 整合型數學題（含解析）
已知開迴路系統：
G(s) = K / [ s·(s+2)·(s+5) ]
(1) 寫出閉迴路傳遞函數
T(s) = G(s) / (1 + G(s))
T(s) = K / [ s·(s+2)·(s+5) + K ]
(2) 穩定性判斷
特徵方程：
s·(s+2)·(s+5) + K = 0
若所有根 Re(s) < 0 → 穩定
(3) 高頻行為
當 ω → ∞：
|G(j·ω)| → 0
|T(j·ω)| → 0
代表：
👉 高頻訊號被抑制
(4) 為何使用 Z 轉換
因數位控制為離散時間系統
必須使用：
X(z) = Σ x[n]·z^(−n)
來分析極點與穩定性。
🎯 工程總結
✔ 拉普拉斯 → 控制結構與穩定性
✔ 傅立葉 → 頻率反應
✔ Z 轉換 → 數位控制
掌握轉換方法，等同掌握控制工程的「通用語言」。
