來吧選擇權，Black-Scholes 模型

警告寫在前面，本篇會涉及一些「數學」，可能還會有點無聊，請斟酌觀賞。
如果你只是想藉由選擇權獲利，請去看我的最後一句話。

好久沒寫研究系列了，今天來點特別的。
相信各位都聽過「選擇權定價」的BS模型，但它又是怎麼來的呢?

之前我曾自嘲，如果要解釋BS，幾乎是自虐，因為太難講了。
但我思考了一陣子，還是決定挑戰看看吧。
所以，如果我哪裡說錯了，請直接翻桌，感謝各位。

當然，考慮到篇幅，我刪減部分推論過程和假設條件，只保留少數必要敘述，各路高手就別斤斤計較啦。

1. 布朗運動

如果我們把一顆冰糖丟進水中，然後觀察這些微小粒子的擴散，會發現很有趣的現象。
單一粒子，會不斷碰撞其它分子，所以四處亂彈。
把它的軌跡記錄下來，會發現根本沒有規律。

在物理領域，人們稱之「布朗運動」。(Brownian)

後來有個維納先生，使用數學語言，嘗試描述布朗運動，因此它也就得名「維納過程」(Wiener)，或是幾何布朗運動。(GBM)

Wiener過程有三個特點。

首先，所有粒子，一開始的位置都在零點。
再來，這一秒的運動距離，和以前的軌跡都沒有關聯，完全隨機。
最後，也是最有趣的，我們隨便找一秒，然後凍結時間，觀察全部粒子的「散佈」狀況，會發現它們呈現「常態分布」。

有人覺得，這根本就是「股價波動」的樣子。
在短時間內，股價幾乎是隨機漫步，無法預測。
而且大部分的走勢都是小漲小跌，只有少數狀況，會發生暴漲暴跌。
所以，對於想要研究價格波動的人們而言，自然的會想套用在布朗運動中。

2. 價格波動和報酬率

回想一下標準布朗運動B(t)，它的起點和期望值都是0，那在交易上是什麼意思呢?
答案是，無論價格怎麼變動，交易者一連串的投入最後收益總和是0，但這應該不是我們樂見的。

所以，接下來要加上兩個東西，就是「飄移參數」和「擴散參數」。
飄移參數(μ)只和時間(t)有關，寫成μt
至於擴散參數(σ)，常對應到常態分布中的標準差(σ)，簡單來講就是定義出縮放係數。

合在一起，就變成

另一方面，我們關心的是價格，所以需要把報酬率轉換一下。
假設價格函數為S(t)，則報酬率為dS(t)/S(t)=dX(t)

帶入原式

接著，我們來看看布朗運動的怪脾氣。

3. 破解微積分危機

微積分，是數學中的常見分析工具。
可是面對布朗運動(或維納過程)，它沒有切入點。
想一下粒子運動，雖然軌跡「連續」，但是呈現鋸齒狀，也就是「不可微分」。

於是，人類搬出了「變分」。(準確來說是二次變分/變差, quadratic variation)
非常廣義的說，變分和微分的「分析」精神類似。

運用二次變分的過程先省略，但重要結論就是 (dB)^2=dt.

用物理的語言來描述，布朗運動的位移平方和就是時間。
(順便說，一般可微函數的二次變分和是零。)

4. Taylor展開

雖然微積分對於布朗運動沒辦法，但我們可以試著用「泰勒展開式」來處理布朗運動函數。

f表示布朗函數B(t)的光滑函數。(每階都連續可微分的意思。)

剛剛我們看到二次變分的結論，這時帶入第二項。
所以，前兩項被保留，但第三項之後都小到可忽略了。

想解這種帶有隨機項的微積分，人類使用另一個工具，就是「隨機微分方程」。(SDE)
而上式這種形狀，也就是Ito(伊藤)引理的基本狀態。

5. Ito引理

合併以上結論，我們可以來稍微跟Ito引理打招呼。

把f泰勒展開，並寫成偏微分形式。

其中我們已知
dX(t)=μdt+σdB

所以

我們知道，dt趨近於0的時候，(dt)^2和dt·db也會變成0。
也早就知道(dB)^2=dt (這在第3點有出現過。)

所以

形狀有個印象即可，其中s和x只是符號差異。

至於價格求解的過程比較複雜，基本上是利用ln來算SDE.
有興趣的朋友可以自行去找資料。

總之，解析解S(T)

這個公式表明了股價和時間的關係，其中μ是算數平均回報，μ-(σ^2)/2是幾何平均回報(例如年化績效)。

6. 刀在手，跟我走

好了，大家可以繼續思考，選擇權的定價。
我們先聚焦在歐式Call的價格(V)，V是股價(S)的時間函數。

現在，如果我的目標是把dB(隨機部分)去掉，怎麼做?

答案就是long 1個call，然後short ∂V/∂s個股，並把這個組合稱為P (當然，反著做也可以。)

由於P是無風險組合，所以回報也就是無風險回報r

這時，看回選擇權價格V

這個表示型態，也就是BS微分方程式。

以上使用的這招，屬於「無套利定價」下的Delta對沖，求解時會用到「熱傳導方程式」的基本解(Heat Kernel).
對，我平常喜歡無套。
不過條條大路通羅馬，還有很多招數可以使用，殊途同歸。

7. 迷宮倒著走

都說到了無套，我就想到風險。
事實上，還有另一條路是建立在「風險中性定價」之上。

BS微分方程只和股價、利率與波動率有關，但和交易者的風險喜好無關。
事實上，如果風險和報酬(μ)有關的話，那麼BS中的μ在Delta對沖時，已經剛好不見了。
所以我們才能使用風險中性的性質，回過頭找出求解BS微分方程的其它方法。

求解具體過程我就不詳述了，基本上我們會需要三個鑰匙。
首先是「鞅」(Martingale，也就是馬丁格爾策略的原文)，使用期望值(E)的概念。
再來是Radon-Nikodym 定理，用在「測度轉換」。
還有Girsanov 定理，確保我們在轉換後仍是布朗運動，這樣才叫鞅。

如果各位對於「無套利」和「風險中性」兩座迷宮的關聯有興趣，也可以走走Feynman-Kac這座橋。

8. 所以公式是什麼?

終於，可以放上BS的公式，以及greeks.

N: 標準常態分佈的CDF
P: put價格
C: call價格
S: 股價
K: 履行價
t: 時間
r: 無風險利率
σ: 回報標準差

Greeks

好，我知道你在想什麼，所以我把其它二三階的greeks也放上來，不過其實網路查表都很方便。

9. 一些彩蛋

BS模型是1997諾貝爾經濟學獎的主題，但它還是有非常多缺陷。

最顯而易見的，大概是使用「常態分布」來描述風險，所以人們也結合不同模型嘗試修正(例如針對α不穩定的的TS家族，或是修正方差的泛ARCH家族)。
另外，GBM假設價格連續，但實際上會有「跳躍擴散」的現象，所以這也是大家應該注意的。
還有，剛剛BS全部都在說歐式，因此美式的定價便需使用更新的模型(例如從二項式推過去)。
對於外匯選擇權而言，需要考慮利率變化，所以有人使用BS的親戚Garman-Kohlhagen.(其實主要就是把r動手腳變成b)

其它模型，像是固定彈性波動模型(CEV)、Heston的隨機波動模型(HSV)、Bates的隨機波動跳躍(SVJ)等，也都提供更貼近真實世界的定價方法。

最後我再次diss一些人。
你會買東西不管價格嗎? 不會。
那有人會買選擇權，卻不知道定價嗎? 會。
所以，這不是理性交易，而是賭博。

我猜會有一些讀者心理嘀咕，說我又在紙上談兵了。
「狂徒啊，我要用選擇權小資大翻身，但我就是不想了解或修正定價模型，那要怎樣才能賺錢? 」

答案很簡單，我只說一次。
「不要碰。」

註: 每一個字和公式都是我自己打的，所以如有出錯請告知我，感謝。

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參考作者和資料: 因子投資方法與實踐的石川先生、Wiki的greeks、Black & Scholes原始論文、Espen Gaarder Haug的選擇權公式書、量化金融領域的Roman Paolucci...沒有他們，我這篇文章可能會難產，所以我向以上作者致上最高敬意。