身為主題「亂七八糟」的作者，感覺選擇權系列寫到這裡，我會被兩派人馬圍剿。
一派是完全不知道選擇權的民眾，它們會覺得我太喜歡談理論，遠離實際交易層面。
另一派，應該是學術界(尤其是金融工程)，畢竟我的理論非常薄弱，而且在討論的時候省略掉關鍵步驟。(註1)
我對原理的追求，是因為想要確保投資知識體系的「安全」，而不是對於完美的堅持。
我非常欣賞理論的演進和算式求解，但我仍然會考慮一個領域是否對我有「金錢效益」。
所以如果要歸類，我大概就是中間陣營吧。
(本篇只有簡單定性描述，無推導。)
1. 遙想某次考試，我發現計算結果非常不合理，於是逐一檢查步驟。公式沒問題，驗算結果也沒問題，那到底什麼東西出問題? 最終，我發現原來是計算機，不小心變成「八進位」。可見，如果我沒有檢驗工具的能力，那麼即使工具沒出錯，而且其餘步驟都正確，我也無法得出有意義的答案。
有一些讀者認為，我對於工具原理的討論、推導和質疑，無法增進獲利。我可以理解這類「能賺就好」的心態，但是我說的內容，大部分都屬於基礎工具範疇，依然緊貼實務。因此，讀者應該要有最基本的「檢查」能力，防止因為工具出錯而導致交易虧損。
相信看到這裡，各位讀者也會知道我的態度。我不會故意拿理論找自己麻煩，但是血淋淋的經歷告訴我，有一些內容非常重要。因此，雖然「原理」不屬於坊間常見的新手話題，我還是會提到。
2. 所謂修改模型對於獲利的影響，我舉個例子，大家就懂了。
各位還記得「負油價」事件吧，台灣的垃圾業者我就不diss了，我要說的是CME的應對。
首先，在4月初CME宣布期貨負價格的可能性。(註2)
再來，4月下旬，負油價成真。
隔兩天，CME馬上宣布因應的選擇權定價模型「調整」，緩衝期一天。(註3)
具體來說，定價模型從Black Scholes改成Bachelier，也就是回到更傳統的版本。(註4)
那請問，假設妳現在有一天的期限，該如何應對這個變化?
全世界最大的期貨和期權交易中心，在史無前例的負油價事件之後，宣布做出調整，結果你不知道對自己有什麼影響，這不是很恐怖嗎?
計算機被改成八進位了，結果妳的答案還會一樣，這樣合理嗎?
看吧，如果你不知道BS的公式形狀和意義，甚至連BS本身都沒聽過，那你根本不用修改定價模型了。
賭場發生重大事件，於是宣布改規則，結果你不知道差別在哪裡，那也不用繼續玩了。
我不是說各位一定會承受不良影響，事實上影響往往也不大。
但是我要強調，對工具的使用態度，就會影響交易者在市場的競爭力。
3. BS和Bachelier的差別，主要就在於兩個地方。
首先，對於價格，BS使用對數常態分布，而Bachelier使用常態分布。
再來，隨機微積分的解，BS使用瞬時波動率，Bachelier使用波動率常數，少了一個時間函數。
因此，只要把BS的某個時間函數去除，就把公式調整完畢，而定價模型也可以接受負價格。
相對的，如果交易者完全仰賴既有模型，那對於這種突發事件，便無法應對自如。
探究其歷史，Bachelier模型認為價格是常態分布，但是顯然不符合實際狀況。
最簡單的例子，一張10元股票，下跌10元的機率，遠小於上漲10元的機率。
所以後來的BS，將常態分布套用在報酬率上，而價格本身則變成對數常態分布。
CME當時的應對，事實上是使用了更傳統的模型。
雖然精確性降低，但是應對範圍增加，算是一種折衷手段。
另外，通常我們在說的BS模型，並非最原始的模型，而是適用利率和股息等元素的經典模型。
因為Black在1976提出，所以也稱為BS 76模型。
4. Heston和波動率之笑。
我們可以透過BS得出資產的波動率，也稱為隱含波動率(IV)。
同時，BS公式中假設波動率「恆定」，不隨著執行價格而改變。
不過後來人們發現，對於不同執行價，IV會隨著變化，打破原本的假設。
(圖片來自wiki)
有時候，這個形狀像個微笑，有時候又像個壞笑(smirk)，還有的時候就是偏斜(skew)。
而為了應付這種狀況，交易者想辦法修正模型，並描述「波動率」。
說到波動率，很容易牽扯「時序分析」，我簡單提三個特徵。
首先，波動率會聚集(clustering)，而並非完全隨機出現。
再者，回報分布的「尖峰肥尾」會影響波動率的變化。
還有，波動率本身，會均值回歸。
BS假設價格的擴散分布是幾何布朗運動(GBM)，而身為隨機波動率體系的Heston模型，將同樣概念也套用到了波動率上，並設法符合以上特徵。
因此具體而言，他們將波動率視為一個指標，並描述它的平均值、回歸速度和波動率。(對，波動率的波動率。)
放在圖形上，既然Heston有將波動率「彎曲」的能力，自然就比較貼合實際狀況。
至於後續的發展也很精彩，包括Heston & Nandi和GARCH，競爭對手SABR和local stochastic volatility等，歡迎讀者自行研究。(註5)
5. Jump擴散
在市場上的資產價格，變化是不是連續?
不是，而且有時候跳空缺口還不小。
BS使用「變分法」而非傳統微積分，是因為假設價格「連續而不可微分」，但是實際上價格並不連續。
因此，為了更貼切描述市場行為，有些人研究價格的「跳躍擴散」。
簡單來說，我們可以把跳躍當成一種隨機出現的現象，獨立於價格的擴散。
常見的做法是使用Poisson過程，並把跳躍幅度視為常態分布。
Merton除了增強BS的適用性外，也提出一些對於跳躍現象的假設。
我認為此處非常有趣，因為常態分布的波動價格，結合常態分布的跳躍擴散，竟然部分解釋了尖峰肥尾(非常態分佈)的實際情形。
6. 非線性定價。
請問，美式選擇權，怎麼定價?
很遺憾的，美式因為可以提早行權，定價計算比歐式還要複雜。
但是很幸運的，相關解法很豐富，學者和業者各顯神通。
像是最小平方蒙地卡羅(least square Monte Carlo, LSMC/LMC)，就是一種很常見的逼近方法。
或是CRR二項/三項定價法，源頭概念簡單，但依然實用。
還有BAW，可以視為傳統歐式和提前行權部分的結合，而且計算效率高。
另外，非線性定價也不只出現在美式選擇權。
流動性或交易者對於風險的承受能力，是否也該計入定價模型內呢?
舉個例子，有學者考慮到交易者心理，並結合「累計前景理論」，讓定價模型更符合實際狀況。(註6)
7. 「狂徒別說故事了，我只想賺錢，不想研究理論。」
可以啊，雖然我非常反對交易，但是只要妳實力夠強，就能在市場上生存。
問題是，妳憑什麼? 又是賺誰的錢?
在衍生品市場，唯一的獲利管道就是幹掉對手，所以充斥著軍備競賽。
那請問，妳的優勢在哪裡?
如果不知道，我覺得還是遠離交易，明哲保身比較實際。
8. 來說些選擇權之外的趣事吧。
我寫這些文章，主要想表達「迭代」精神。
模型本身或許不夠優秀，但我們可以利用簡單暴力的方式，逼出數值解，例如Monte Carlo.
我的學習背景就是跟一堆找不到closed解的問題共舞，所以我很吃這套。
當然，妳可以說我懶惰，放棄了對於「美學」的追求，而習慣把問題打到程式裡面，然後快速把答案幹出來。
但是我認為，如果一切計算只追求簡潔，那才狹隘。
不然，妳可以告訴我sin(sin(x))定積分怎麼算，是先求解析解再放數字嗎?
另一方面，有模型就用模型，有優雅的方法，就不必把手弄髒。
基於我對於原理的探索，我也反對一昧的依靠科技力量求出解答。
我就無聊跑過十萬乘十萬的矩陣運算，具體原因忘了，反正跑到電腦當機，可見暴力不能解決所有問題。
世界本就不完美，有些地方需要藉助算力求得真理，同樣也有經典模型展現優雅智慧的舞台。
把眼光放到模型上，我們也可以看到人類的不斷進步和對於理論的修改。
沒有一種模型是「正確」的，但大家可以受益於前人的努力，更接近真相。
回到自身，我的雜亂學習歷程，本身就是一種迭代。
我非常習慣接收動態知識，我可以毫不猶豫的否定昨天的自己，那是因為我知道這樣子的進步才快。
註:
這篇文章的誕生還有另一個原因，那就是一些作者給我的啟發。
例如一位也是自學的作者，用熱傳導方程推BS的解，我認為他功力深厚。
還有一位喜歡推底層公式，專挑最硬的部分，可惜後來覺得太累，停止更新。
以我現有的能力，純粹的學問對我來說太生澀，但這也不妨礙我寫一些簡單的文章。
1. 關於學術界的理論推導，我推薦一本韓教授寫的《金融隨機計算》。整體內容扎實而嚴謹，如果各位是新手，看完之後應該會對定價理論有更深的了解。(反正我主要是看選擇權和波動率。)
各位可以參考目錄(PDF)
另外一本Shreve的《金融隨機分析》舉世聞名，很多人都推薦，我就不贅述了。
2. Changes to Price and Strike Price Eligibility Flags for Certain Energy Products
3. Switch to Bachelier Options Pricing Model
4. 《華爾街物理學》有提到這方面(Bachelier / BS)的演進，有機會我再放書評。
5. Bergomi有一本Stochastic Volatility Modeling，之前我在文中提過，正在緩慢推進。對於選擇權有愛的讀者，可以參考。
6. A Cumulative Prospect Theory Approach to Option Pricing
7. 推薦幾本選擇權的書。
《選擇權價格波動率和定價理論》(書評)
《動態對沖》，有對既有模型的批判，作者Taleb是業界知名人士。
Nonlinear Option Pricing (Julien Guyon)
8. CME的介紹，可參考
9. 其它參考文章
