【數學魔術】身為一位數學老師,會讀心術猜數字也是合情合理(?) - 猜二位數

閱讀時間約 4 分鐘
即便沒有很靈活的雙手,懂一些數學也能做到不少 amazing 的魔術。
身為一個數學老師,猜中人家心裡想的數字也是合情合理對吧!(並沒有!)
平常除了板書之外,我也很喜歡使用桌遊或是魔術來引起學生對數學課的好奇與興趣,雖然很多東西都還在摸索當中,也累積不少心得。最近正好從父親那學到一個既有趣又充滿國中數學知識的魔術,接下來就讓我來介紹一下這個魔術怎麼表演吧!

表演方式

  1. 請對方在心裡想一個二位數(10 ~ 99),可以請對方寫下來或是先比給其他觀眾知道(魔術師不能先知道這組數字)。
  2. 請對方計算,該二位數 ➕ 其十位數字 ➕ 其個位數字,並將計算結果告訴魔術師。(舉例來說,如果想的數字是 35 ,則要計算 35 + 3 + 5 = 43,並告訴魔術師 43 這組數字。)
    接下來的步驟是魔術師腦袋裡要進行的推論與計算。
  3. 將對方告知的數字,除以 11 ,並觀察餘數是奇數還是偶數
    (1.) 如果餘數是偶數,則商數即為該二位數的十位數字,餘數除以 2 即為個位數字。
    (以剛才的 35 為例,43 ➗ 11 = 3 ... 10,餘數 10 為偶數,則十位數字就取商數 3 ,而個位數字則取餘數除以 2 ,也就是 10 ➗ 2 = 5,合起來就是 35。)
    (2.) 如果餘數是奇數,則商數要先 ➖ 1,再取為十位數字,而餘數先 ➕ 11 後,同樣再除以 2 ,即為個位數字。
    (以 48 為例,48 + 4 + 8 = 60 ,60 ➗ 11 = 5 ... 5,餘數 5 是奇數,則將商數的 5 - 1 = 4,取 4 為十位數字,而將餘數 5 + 11 = 16 後,再除以 2 ,也就是 8 ,並取為個位數字,兩個數字合起來就是 48 。)
  4. 將步驟 3. 算出來的結果,告訴觀眾,表演結束。
接著就來解釋一下這個魔術的數學原理,有興趣的讀者也可以自己想想看,其實步驟 3. 就是它的重要核心。

魔術原理

這個魔術滿考驗魔術師對於心算的能力,對整數除法計算越熟悉,表演的過程也會越順暢。其中運用到的原理,有使用未知數的二元一次式,以及大玩商數除數與餘數的除法原理
簡單說明一下什麼是二元一次式,就是會出現兩種未知數符號,通常是「x」和「y」,而這些未知數符號,它的次方都是 1 ,這樣的算式就是二元一次式。舉例來說, x + y 、 3x + 5y......,要注意的是, x 和 y 分別代表的是兩個數,可以想成現在有兩個東西要考慮,這兩個東西都有數字表示,我們就會使用兩種未知數符號來代表。
至於除法原理,則是小學階段剛學到除法的概念時,其實就會碰到的東西。簡單來說就是,被除數 = 除數 ✖️ 商數 ➕ 餘數。舉例來說, 13 ➗ 3 = 4 ... 1,就可以表達成, 13 = 3 ✖️ 4 ➕ 1。
回到這個魔術, 因為要求觀眾把十位和個位數字分開計算,我們可以假設觀眾心想的二位數裡,十位數字是 x ,個位數字是 y ,則這個二位數可以表達成 10x + y,再加上 x 和 y,則會變成 11x + 2y 。
我們再將 11x + 2y 仿照表演步驟 3. ,除以 11 ,會發現根據除法原理, x 有著商數的資訊,2y 有著餘數的資訊。可是餘數不是有可能是奇數或偶數嗎? 2y 看起來一定是偶數耶?
這邊就是有趣的地方了,2y 根據我們心想的數字,如果個位數字 y 是 6、7、8、9這四種,那麼 2y 就會超過 11。計算除法的時候,餘數必須比除數還小,這四種類型的餘數,正好會讓原本的商數 x ,再加 1 ,餘數剩下的部分,則剛好會是 1、3、5、7 四種奇數,這也就是為何遇到餘數是奇數的時候會比較複雜的原因。

魔術的效果

雖然還沒在課堂上演練過這個魔術,但是如果教師先讓學生猜看看是怎麼變的,或許能抓住不少目光,連帶也能將這些數學知識引導出來。母親也建議我,運用表演或是遊戲當中引起動機的方法時,可能會需要兩到三次的表演次數,通常一些主動的學生,在第二次看到時就會有自己摸索、思考與查找資料的過程,很容易接近謎題的答案。但也有可能學生不太能掌握到這個活動背後的原理,那麼教師就該在幾次之後,公佈答案,然後拉回課程內容,畢竟課程時間有限,一直都放在活動上,教學效果也不會太好。
我很喜歡這種運用數學的魔術,會讓人覺得數學不只是追求實用性或是考試成績,當作一種才藝也很適合。面對數學,如果能用遊戲的眼光去看待,我想那種焦慮與恐懼感,或許會減少一些吧!
分享這個魔術給讀者們,同時也貼上自己的筆記,當作一個紀錄。
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我是巴斯光綸,一位喜愛電影的數學教師。 喜歡讓人願意一看再看的好電影,也喜歡用數學看待世界。
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