【數學魔術】身為一位數學老師，會讀心術猜數字也是合情合理（？） - 猜二位數

巴斯光綸

更新於 2023/02/05發佈於 2023/02/05閱讀時間約 4 分鐘

即便沒有很靈活的雙手，懂一些數學也能做到不少 amazing 的魔術。

身為一個數學老師，猜中人家心裡想的數字也是合情合理對吧！（並沒有！）

平常除了板書之外，我也很喜歡使用桌遊或是魔術來引起學生對數學課的好奇與興趣，雖然很多東西都還在摸索當中，也累積不少心得。最近正好從父親那學到一個既有趣又充滿國中數學知識的魔術，接下來就讓我來介紹一下這個魔術怎麼表演吧！

表演方式

請對方在心裡想一個二位數（10 ~ 99），可以請對方寫下來或是先比給其他觀眾知道（魔術師不能先知道這組數字）。
請對方計算，該二位數 ➕ 其十位數字 ➕ 其個位數字，並將計算結果告訴魔術師。（舉例來說，如果想的數字是 35 ，則要計算 35 + 3 + 5 = 43，並告訴魔術師 43 這組數字。）
接下來的步驟是魔術師腦袋裡要進行的推論與計算。
將對方告知的數字，除以 11 ，並觀察餘數是奇數還是偶數。
(1.) 如果餘數是偶數，則商數即為該二位數的十位數字，餘數除以 2 即為個位數字。
（以剛才的 35 為例，43 ➗ 11 = 3 ... 10，餘數 10 為偶數，則十位數字就取商數 3 ，而個位數字則取餘數除以 2 ，也就是 10 ➗ 2 = 5，合起來就是 35。）
(2.) 如果餘數是奇數，則商數要先 ➖ 1，再取為十位數字，而餘數先 ➕ 11 後，同樣再除以 2 ，即為個位數字。
(以 48 為例，48 + 4 + 8 = 60 ，60 ➗ 11 = 5 ... 5，餘數 5 是奇數，則將商數的 5 - 1 = 4，取 4 為十位數字，而將餘數 5 + 11 = 16 後，再除以 2 ，也就是 8 ，並取為個位數字，兩個數字合起來就是 48 。)
將步驟 3. 算出來的結果，告訴觀眾，表演結束。

接著就來解釋一下這個魔術的數學原理，有興趣的讀者也可以自己想想看，其實步驟 3. 就是它的重要核心。

魔術原理

這個魔術滿考驗魔術師對於心算的能力，對整數除法計算越熟悉，表演的過程也會越順暢。其中運用到的原理，有使用未知數的二元一次式，以及大玩商數除數與餘數的除法原理。

簡單說明一下什麼是二元一次式，就是會出現兩種未知數符號，通常是「x」和「y」，而這些未知數符號，它的次方都是 1 ，這樣的算式就是二元一次式。舉例來說， x + y 、 3x + 5y......，要注意的是， x 和 y 分別代表的是兩個數，可以想成現在有兩個東西要考慮，這兩個東西都有數字表示，我們就會使用兩種未知數符號來代表。

至於除法原理，則是小學階段剛學到除法的概念時，其實就會碰到的東西。簡單來說就是，被除數 = 除數 ✖️ 商數 ➕ 餘數。舉例來說， 13 ➗ 3 = 4 ... 1，就可以表達成， 13 = 3 ✖️ 4 ➕ 1。

回到這個魔術，因為要求觀眾把十位和個位數字分開計算，我們可以假設觀眾心想的二位數裡，十位數字是 x ，個位數字是 y ，則這個二位數可以表達成 10x + y，再加上 x 和 y，則會變成 11x + 2y 。

我們再將 11x + 2y 仿照表演步驟 3. ，除以 11 ，會發現根據除法原理， x 有著商數的資訊，2y 有著餘數的資訊。可是餘數不是有可能是奇數或偶數嗎？ 2y 看起來一定是偶數耶？

這邊就是有趣的地方了，2y 根據我們心想的數字，如果個位數字 y 是 6、7、8、9這四種，那麼 2y 就會超過 11。計算除法的時候，餘數必須比除數還小，這四種類型的餘數，正好會讓原本的商數 x ，再加 1 ，餘數剩下的部分，則剛好會是 1、3、5、7 四種奇數，這也就是為何遇到餘數是奇數的時候會比較複雜的原因。

魔術的效果

雖然還沒在課堂上演練過這個魔術，但是如果教師先讓學生猜看看是怎麼變的，或許能抓住不少目光，連帶也能將這些數學知識引導出來。母親也建議我，運用表演或是遊戲當中引起動機的方法時，可能會需要兩到三次的表演次數，通常一些主動的學生，在第二次看到時就會有自己摸索、思考與查找資料的過程，很容易接近謎題的答案。但也有可能學生不太能掌握到這個活動背後的原理，那麼教師就該在幾次之後，公佈答案，然後拉回課程內容，畢竟課程時間有限，一直都放在活動上，教學效果也不會太好。

我很喜歡這種運用數學的魔術，會讓人覺得數學不只是追求實用性或是考試成績，當作一種才藝也很適合。面對數學，如果能用遊戲的眼光去看待，我想那種焦慮與恐懼感，或許會減少一些吧！

分享這個魔術給讀者們，同時也貼上自己的筆記，當作一個紀錄。

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