📼 34／60 積分與系統記憶：為什麼系統會「記仇」？—— 現在的狀態，來自過去的累積

導讀：系統不是活在當下

許多新手會以為：

👉 只要看現在輸入就好

👉 會記得過去

這種「記住歷史」的能力，來自：

👉 積分

一、什麼叫「有記憶系統」？

若系統輸出與：

👉 過去的輸入有關

則稱為：

👉 有記憶系統

反之：

👉 只與當下輸入有關 → 無記憶系統

二、積分就是記憶器

電容：

v(t) = (1 / C) · ∫ i(t) dt + C₀

電感：

i(t) = (1 / L) · ∫ v(t) dt + I₀

工程意義：

👉 現在值 = 過去累積 + 初始狀態

三、初始條件就是記憶內容

C₀ → 初始電壓

I₀ → 初始電流

工程直覺：

👉 系統從哪裡開始

👉 會影響之後整條軌跡

四、工程實例

RC 放電：

👉 電壓慢慢下降

積分器控制器（I）：

👉 誤差會隨時間累積

五、好記憶 vs 壞記憶

好記憶：

👉 平滑

👉 抗雜訊

👉 穩定

壞記憶：

👉 漂移

👉 發散

👉 積分飽和（windup）

六、工程版一句話總結

👉 積分會記住過去。

七、本單元你應該建立的直覺

✔ 現在 = 過去累積

✔ 初始條件很重要

✔ 記憶是可以被設計與控制的

🧮 單元練習題（積分即記憶）

已知系統：

v(t) = ∫₀ᵗ 2 dτ + 3

求 v(t)。

解題

∫₀ᵗ 2 dτ = 2t

因此：

v(t) = 2t + 3

結果

v(t) = 2t + 3

工程直覺

👉 每秒累積 2 單位

👉 初始值為 3

👉 現在狀態 = 累積 + 起點

✅ 本單元核心帶走一句話

你現在看到的系統狀態，

是整段歷史寫出來的結果。