導讀：不是所有變化都值得被保留
在工程系統裡：
👉 快速抖動 → 通常是雜訊
👉 緩慢變化 → 才是有意義的資訊而積分的天生特性是：
👉 偏好慢變化
👉 排斥快變化
這也是為什麼：
👉 積分本質上等效於低通濾波器
一、頻率觀點下的積分
若訊號在頻率域表示為：
x(t) ↔ X(f)
則對時間積分後：
∫ x(t) dt ↔ (1 / (j·2πf)) · X(f)
工程意義：
👉 頻率 f 越大
👉 1 / (2πf) 越小
👉 增益越低
也就是：
👉 高頻被削弱
二、積分等效低通濾波
低頻成分：
👉 幾乎完整通過
高頻成分：
👉 被大幅衰減
因此：
👉 積分 = 低通濾波器
三、為什麼高頻會被削弱？
因為高頻訊號：
👉 正負變化很快
👉 一下正、一下負
在積分時：
👉 正負面積彼此抵消
結果：
👉 總累積量變小
四、工程實例
RC 電路：
👉 天然低通濾波
控制器中的積分器（I 控制）：
👉 消除穩態誤差
👉 保留長期趨勢
五、與微分的對比
微分：
👉 放大快變化
👉 等效高通
積分：
👉 保留慢變化
👉 等效低通
六、工程版一句話總結
👉 積分留下趨勢，
👉 濾掉抖動。
七、本單元你應該建立的直覺
✔ 慢變 → 保留
✔ 快變 → 抑制
✔ 積分 = 平滑
🧮 單元案例題（高頻與低頻比較）
已知訊號：
x(t) = sin(2π·1t) + sin(2π·50t)
求對 x(t) 積分後，各成分的相對強弱。
解題
對 sin(2πft) 積分：
∫ sin(2πft) dt = − cos(2πft) / (2πf)
因此：
低頻項（1 Hz）振幅係數：
1 / (2π·1)
高頻項（50 Hz）振幅係數：
1 / (2π·50)
比較比例：
(1 / (2π·1)) ÷ (1 / (2π·50)) = 50
結果
👉 1 Hz 成分比 50 Hz 成分 大 50 倍
工程直覺
👉 積分後
👉 低頻被大幅保留
👉 高頻被強烈壓制
這正是低通濾波行為。
✅ 本單元核心帶走一句話
積分不是只是在做數學，
它同時在幫你做「平滑與濾波」。
