導讀：不是所有訊號都值得被積分
有些訊號：
👉 積分後是有限值
👉 有些卻會變成無限大工程師最害怕看到的情況是：
👉 積分發散
一、什麼是積分發散？
若訊號能量為：
E = ∫ |x(t)|² dt = ∞
代表：
👉 訊號的總能量無限大
👉 系統長期累積沒有上限
這在實體系統中代表：
👉 不可能成立
二、積分為什麼會發散？
常見原因：
👉 存在 DC 成分
👉 訊號不隨時間衰減
👉 系統回授不穩定
工程直覺：
👉 只要「一直有東西進來」
👉 又「沒有被消耗掉」
👉 積分一定爆炸
三、工程實例
若：
x(t) = A
則能量：
E = ∫ |A|² dt
因為 |A|² 為常數，
結果：
E → ∞
工程意義：
👉 一個永遠不消失的常數訊號
👉 能量必然無限大
四、與系統穩定度的關係
穩定系統：
👉 輸出會衰減
👉 積分收斂
不穩定系統：
👉 輸出放大或不衰減
👉 積分發散
五、工程師如何避免？
• 移除 DC 偏移
• 加高通濾波
• 加阻尼或穩定回授
六、工程版一句話總結
👉 積分發散 = 系統一定有問題
七、本單元你應該建立的直覺
✔ 先看有沒有 DC
✔ 再看會不會衰減
✔ 再看回授是否穩定
🧮 單元練習題（發散或收斂判斷）
已知訊號：
x(t) = e⁻ᵗ ，t ≥ 0
判斷其能量：
E = ∫₀∞ |x(t)|² dt
是否收斂。
解題
E = ∫₀∞ |e⁻ᵗ|² dt
= ∫₀∞ (e⁻ᵗ)² dt
= ∫₀∞ e⁻²ᵗ dt
= [ −(1/2) · e⁻²ᵗ ]₀∞
= 0 − ( −1/2 )
= 1/2
結論
👉 E = 1/2（有限值）
👉 積分 收斂
工程直覺
👉 訊號隨時間指數衰減
👉 後期貢獻越來越小
👉 總能量不會爆炸
✅ 一句話帶走
只要訊號會隨時間衰減，
能量積分通常就會收斂。
