🧭 導讀：很多工程現象，其實都在「自動變平」
你會發現：
▪ 熱會從熱的地方流向冷的地方
▪ 電位會自己趨向平衡▪ 濃度會慢慢擴散開
這些現象背後，都隱含同一個數學角色：
👉 拉普拉斯算子（∇²）
（這裡只把它當成「偵測器」，不做公式推導。）
🧩 一、拉普拉斯算子在幹嘛？
它在量測：
👉 某一點是否「比周圍高」或「比周圍低」
工程語言：
▪ 若某點 比周圍高 → 會往外「流出去」
▪ 若某點 比周圍低 → 周圍會往內「補進來」
所以你可以把 ∇² 想成：
👉 局部不平衡的檢測器
🔬 二、把它想成「彎曲程度偵測器」
想像你在看一張場分佈的地形圖：
▪ 這一點像山峰（凸起）
▪ 這一點像盆地（凹下）
▪ 這一點像平原（很平）
拉普拉斯算子就是在判斷：
👉 這一點到底像「峰」、像「谷」、還是像「平」
（它不是在看高度本身，而是看周圍的形狀趨勢。）
⚙️ 三、為什麼工程師在乎它？
因為很多系統的自然趨勢都是：
👉 變平、變均勻、變穩定
這包含：
▪ 熱擴散（溫度變均勻）
▪ 靜電位（電位趨向平衡）
▪ 濃度擴散（濃度變均勻）
🛰️ 四、實際出現在哪？
▪ 熱傳導
▪ 電位分佈
▪ 電磁波（與波動方程一起出現）
▪ 擴散問題
🧠 五、工程直覺總結
若某區域：
▪ ∇²(場) = 0 → 系統呈現「平衡／無內部驅動」
▪ ∇²(場) ≠ 0 → 系統存在「源／匯」或正在改變
（這裡的「源／匯」可以直覺理解為：哪裡在被加熱、哪裡在被抽走、哪裡在被注入。）
🧾 六、工程版一句話總結
拉普拉斯算子（∇²）在告訴你：
👉 系統想不想變平，以及變平的驅動強不強。
🧠 七、本單元你應該建立的直覺
✔ 描述彎曲
✔ 對應擴散
✔ 對應平衡
📝 實務題（工程直覺題）
✅ 練習：用「離散拉普拉斯」判斷哪裡最不平衡
在一張 2D 網格上，某個點的場值為 u₀，四周上下左右分別為 u_U、u_D、u_L、u_R。
工程上常用一個直覺版指標（離散拉普拉斯）：
L ≈ (u_U + u_D + u_L + u_R − 4u₀)
若 L = 0，表示此點和周圍「很平衡」；
若 L 很大或很小，表示此點「很不平衡」。
現在比較兩個位置 A、B，哪個位置更「想變平」？
位置 A：
u₀ = 10
u_U = 10, u_D = 10, u_L = 10, u_R = 10
位置 B：
u₀ = 10
u_U = 14, u_D = 14, u_L = 6, u_R = 6
🔍 解析（不進微分公式，但可算出直覺）
位置 A：
L_A = (10 + 10 + 10 + 10 − 4×10)
= (40 − 40)
= 0
👉 完全平衡（平原，沒有「變平」的驅動）
位置 B：
L_B = (14 + 14 + 6 + 6 − 4×10)
= (40 − 40)
= 0
👉 平均上也平衡（雖然左右不一樣，但上下＋左右的總體平均剛好抵消）
✅ 結論（這題的真正重點）
A 與 B 的 L 都是 0，因此在「離散拉普拉斯」這個指標下：
👉 兩者在中心點都判定為平衡
但工程直覺提醒你：
▪ B 的周圍有方向性差異（上/下高、左/右低）
👉 這種現象常需要搭配「梯度（∇）」或方向性分析，才能看出「哪個方向在流」。
