🧭 導讀：工程設計的核心不是算答案，而是找最好
工程問題很少只有「可行」與「不可行」，更多時候是：
▪ 成本最低▪ 效率最高
▪ 損耗最小
▪ 性能最好
這些都屬於：
👉 最佳化問題（Optimization）
🧩 一、最佳化問題的基本型態（Unicode）
一般形式：
min / max f(x₁, x₂, … , xₙ)
🔬 二、必要條件：梯度為零（Unicode）
在無限制條件下，極值點需滿足：
∂f/∂x₁ = 0
∂f/∂x₂ = 0
… ∂f/∂xₙ = 0
或寫成向量形式：
∇f = 0
⚙️ 三、工程直覺
▪ 梯度（∇f） → 上升最快的方向
▪ −∇f → 下降最快的方向
因此：
最佳解出現在
👉 坡度變平的地方
🧠 四、限制條件下的最佳化（Unicode）
若存在限制條件：
g(x₁, x₂, … , xₙ) = 0
可使用：
👉 拉格朗日乘數法
🛰️ 五、工程實例
▪ 天線設計 → 最大增益
▪ 電路設計 → 最小功耗
▪ 控制系統 → 最小誤差
🧾 六、工程版一句話總結
最佳化 = 在多維空間中找最平的點。
🧠 七、本單元你應該建立的直覺
✔ 梯度指方向
✔ 梯度為零在極值
✔ 是設計核心工具
📝 實務題
✅ 練習：找二變數函數的極值點
給定函數：
f(x, y) = x² + y² − 4x − 6y
求其最小值點。
🔍 解析
🧠 第一步：計算偏微分
∂f/∂x = 2x − 4
∂f/∂y = 2y − 6
✏️ 第二步：設為零
2x − 4 = 0 → x = 2
2y − 6 = 0 → y = 3
🧮 第三步：得到極值點
(x, y) = (2, 3)
✨ 第四步：計算最小值
f(2, 3)
= 2² + 3² − 4·2 − 6·3
= 4 + 9 − 8 − 18
= −13
✅ 最終答案
最小值點在：
(x, y) = (2, 3)
最小值：
f_min = −13
🧠 工程直覺總結
✔ 函數呈碗狀 → 唯一最小值
✔ 梯度為零 → 坡度變平
✔ 這類運算就是很多最佳化演算法的核心
