導讀：沒有常數的模型，通常是錯的
在課本裡你會看到：
∫ f(x) dx = F(x) + C
很多人會問：
👉 為什麼一定要 +C？
👉 不加會怎樣？
工程上的答案是：
👉 不加，模型就失去歷史。
一、什麼是不定積分？
不定積分表示的不是一條曲線，
而是一整個函數家族。
數學表示：
∫ f(x) dx = F(x) + C
代表：
👉 所有導數等於 f(x) 的函數集合。
二、為什麼一定會出現常數 C？
因為：
d/dx (F(x) + C) = f(x)
不論 C 是多少，
微分後都會消失。
所以當我們用積分「反推」時：
👉 永遠無法知道原本的常數是多少
👉 只能保留成 C
三、工程語言：C 代表初始狀態
工程模型常見形式：
x(t) = ∫ v(t) dt + C
這個 C 表示：
👉 起始位置
👉 起始能量
👉 起始電壓
👉 起始電荷
也就是：
👉 系統一開始「記住」的狀態。
四、電容的實例
由電容關係式：
i(t) = C · dv(t)/dt
兩邊對時間積分：
v(t) = (1/C) · ∫ i(t) dt + C₀
其中：
👉 C₀ = 初始電壓
五、如果忽略常數會怎樣？
👉 波形整體上下偏移
👉 能量與電壓計算錯誤
👉 系統狀態判斷錯誤
工程上等同於：
👉 忘記系統的起點。
六、工程師如何決定 C？
透過：
👉 初始條件
👉 邊界條件
例如：
v(0) = 5 V
代入模型即可求出 C。
七、工程版一句話總結
+C 代表系統的記憶。
八、本單元你應該建立的直覺
✔ 積分一定有 C
✔ C = 初始狀態
✔ 沒有 C → 模型不完整
🧮 單元練習題 1（速度 → 位移）
已知：
v(t) = 6t
且在 t = 0 時，位置 x(0) = 2 m
求：x(t)。
解題
x(t) = ∫ 6t dt
= 3t² + C
代入初始條件：
2 = 3·0² + C
C = 2
所以：
x(t) = 3t² + 2
工程直覺
👉 積分給你運動趨勢
👉 C 告訴你從哪裡開始
🧮 單元練習題 2（電流 → 電壓）
已知：
i(t) = 4 A（常數）
電容 C = 2 F
且 v(0) = 1 V
求：v(t)。
解題
v(t) = (1/C) · ∫ i(t) dt + C₀
= (1/2) · ∫ 4 dt + C₀
= 2t + C₀
代入：
1 = 2·0 + C₀
C₀ = 1
因此：
v(t) = 2t + 1
工程直覺
👉 電流決定電壓上升速度
👉 初始電壓決定整條曲線位置
✅ 本單元核心帶走一句話
在工程中，
沒有 +C 的模型，等於沒有記憶。
