[求解]-殘值與收斂

這一篇的介紹，我想殘值應該要放在求解這一塊。

什麼是殘值(Residual)? 怎樣算收斂(Converge)?
是我們開始求解後需要回答的第一個問題，然後才能回頭檢視我們這個結果至少在數值意義上能不能用。

簡單來說，殘值可以視為偏離正解的程度。這句話也暗示著，它不是正解。
最基本的兩組方程式控制著流體的行為，但僅僅是描述，沒告訴過你一定可以解，Navier-Stokes難解的程度甚至被列為7大數學難題之一。當然，自然界總是有解，只是我們程度差，無奈之下我們只好使用數值解來近似真正的解。

連續方程式:

Navier-Stokes:

如果對他們做離散化後可以得到4條包含x,y,z分量以及質量(or體積)守恆的方程式。如果把東西通通歸到同一側，可以得到解析解狀況下應該總和為零，但是數值方法下恆不為零，只能無窮接近，因此就會看到四條逐漸往零邁進的曲線。
(Energy是能量方程式的殘值)

收斂是指一種狀態或是標準，其實沒有明確規定，雖然有工程常用的5%準則可以當作共識，但其實你要把它改成1%也沒人有意見。然後符合這個標準的解我們覺得再解下去也沒什麼意義，就拿來用了，這就是收斂。

然而，即使是理想狀況下，殘值誤差也不會是0，那麼到底多小才能合理判斷結果收斂?

這時候請搭配監測點(monitor point)監測物理量，在熱分析當中最常用的當然是晶片溫度或是鰭片溫度，但是同理也可以應用在流體力學分析上。當檢測點的物理量也都幾乎沒有變化的時候，就可以說他收斂了。

需要注意的是，收斂並不等於解是對的，更接近於再迭代下去也沒意義的一種判斷，因此回頭觀察這個流場或是溫度場是不是合理，以及符合物理現象是相當重要的，沒有收斂的解不能用，但收斂也還不代表能用，只是個基本標。必須在模型，網格，求解三個階段都沒有問題產生，我們才可以基於這個結果作後續分析。不然就是所謂的GIGO，Garbage in Garbage out。

等等，那這樣說起來殘值的功用到底是啥?

殘值首先重要的是方向性，我們不能確認物理量到底應該變大還變小，但是只要殘值持續接近0，我們就可以維持這個迭代方向。
再來是殘值小不代表什麼，但是殘值大肯定有問題，這個涉及經驗，每個問題的門檻值都有所不同。
再更過來是，殘值有時候跟脈象一樣，可以作為一個線索來去看問題出在哪裡，有時候是哪個分量帶頭發散，有時候是震盪，都會透漏是網格或是模型出問題的一種跡象。