過橋問題（解答篇）

咚咚的思辨學堂

2024/04/22閱讀時間約 3 分鐘

揭曉正確答案之前，先講一個小小故事，假如你/妳對這個題目或答案不滿意，至少也能帶一段故事走。

本咚國中補習的時候，理化老師很喜歡跟學生互動，他的手段相當高明，讓學生歡樂中學習又留下深刻印象。例如某題是常見的ABCD四選一選擇題，他可能會說

因為@#$%^，所以答案選A，答對的舉手。

（某咚第一次就傻傻地舉手還舉超高，台上的老師也跟著把手舉高，彷彿歡慶勝利般）

只見老師繼續對全班說：

對還錯？錯！

老師將緊握的右手戲謔地放下，再搭配幾聲嘲諷的奸笑，周圍的同學早就熟知老師的套路，只有本咚滿臉通紅，剛剛高舉的右手只能尷尬放下，那道題別說記得了，午夜夢迴都會想起來。（可惜時間過太久還是不小心忘掉了～＂～）

故事結束，以下進入解題環節。

方便起見，這邊重整一下資訊，並且把人先做一個代稱

你/妳（記錄員）　代號甲　過橋時間2分鐘
研究員　代號乙　過橋時間4分鐘
操作員　代號丙　過橋時間6分鐘
管理員　代號丁　過橋時間8分鐘
老教授　代號戊　過橋時間10分鐘

一次通過兩人，速度快的要配合速度慢的，過去之後要一個人拿手電筒回來接應。

最容易出錯的思路是：因為甲最快，所以每一趟都要由甲陪著慢的人過去，甲再回來。

這樣就變成：

第一趟甲乙過去（4min）　甲回來（2min）
第二趟甲丙過去（6min）　甲回來（2min）
第三趟甲丁過去（8min）　甲回來（2min）
第四趟甲戊過去（10min）　一共花了4+2+6+2+8+2+10=34分鐘

這樣看起來除了甲會很辛苦之外，其他好像沒什麼問題。

所以答案34分鐘，答對同學請舉手，這樣解對還錯？錯。欸嘿嘿嘿嘿哈哈哈

這樣我們陷入了一個誤區，因為丁跟戊速度最慢，雖然他們只會走一趟，但他們兩人分開走就花費了8+10=18分鐘，如果他們能一起走，反而時間會縮短一些，但前提是要有快腿先到對面待命。

正解

第一趟甲乙過去（4min）　甲回來（2min）
第二趟丁戊過去（10min）乙回來（4min）
第三趟甲丙過去（6min）　甲回來（2min）
第四趟甲乙過去（4min）　一共花了4+2+10+4+6+2+4=32分鐘

比剛剛的答案還要再快兩分鐘👏👏

最後附上類似題目的遊玩連結過橋遊戲，大家可以玩玩看喔。

解答完畢，底下是補充環節。

補充

其實我有好奇過，是不是不同人數、不同秒數會有不同的答案，但自己也漸漸淡忘掉了，這一題也一直保存在我的雲端硬碟裡，這次趁此機會Google了一番，查資料的時候意外發現，原來過橋問題的推廣相當深遠，甚至可以當作計算機概論的題型，另外搜尋到一份2019年的「嘉義市第三十七屆中小學科學展覽會」，其主題正好就是過橋問題，不過內容涉及大量的符號與數字計算，請慎入。(點這裡)

雖是科展主題，老師可能會從旁協助，但細讀內文，發現參展學生每個環節的想法都非常用心且細微，不斷將問題推廣到人數更多，或秒數恰為等差、等比等情形來討論，也透過窮舉、計算等方式來輔證想法，內容相當精彩，在此我引用一下他推導出來的結論（連結裡也有）

將上述出錯情形稱為一人提燈走法(因為回程都是甲走)，正解情形稱為二人提燈走法。

設一共n人過橋，設速度最快者為P₁，秒數為W；第二快者為P₂，秒數為X；第二慢的人為P_n-1，秒數為Y，最慢的人為P_n，秒數為Z，即W<X<......<Y<Z。