過橋問題(解答篇)

閱讀時間約 3 分鐘

揭曉正確答案之前,先講一個小小故事,假如你/妳對這個題目或答案不滿意,至少也能帶一段故事走。

本咚國中補習的時候,理化老師很喜歡跟學生互動,他的手段相當高明,讓學生歡樂中學習又留下深刻印象。例如某題是常見的ABCD四選一選擇題,他可能會說

因為@#$%^,所以答案選A,答對的舉手。

(某咚第一次就傻傻地舉手還舉超高,台上的老師也跟著把手舉高,彷彿歡慶勝利般)

只見老師繼續對全班說:

對還錯?錯!

老師將緊握的右手戲謔地放下,再搭配幾聲嘲諷的奸笑,周圍的同學早就熟知老師的套路,只有本咚滿臉通紅,剛剛高舉的右手只能尷尬放下,那道題別說記得了,午夜夢迴都會想起來。(可惜時間過太久還是不小心忘掉了~"~)

故事結束,以下進入解題環節。

方便起見,這邊重整一下資訊,並且把人先做一個代稱

  • 你/妳(記錄員) 代號 過橋時間2分鐘
  • 研究員 代號 過橋時間4分鐘
  • 操作員 代號丙 過橋時間6分鐘
  • 管理員 代號 過橋時間8分鐘
  • 老教授 代號 過橋時間10分鐘

一次通過兩人,速度快的要配合速度慢的,過去之後要一個人拿手電筒回來接應。

最容易出錯的思路是:因為甲最快,所以每一趟都要由甲陪著慢的人過去,甲再回來。

這樣就變成:

  • 第一趟甲乙過去(4min) 甲回來(2min)
  • 第二趟甲丙過去(6min) 甲回來(2min)
  • 第三趟甲丁過去(8min) 甲回來(2min)
  • 第四趟甲戊過去(10min) 一共花了4+2+6+2+8+2+10=34分鐘

這樣看起來除了甲會很辛苦之外,其他好像沒什麼問題。

所以答案34分鐘,答對同學請舉手,這樣解對還錯?錯。欸嘿嘿嘿嘿哈哈哈

這樣我們陷入了一個誤區,因為丁跟戊速度最慢,雖然他們只會走一趟,但他們兩人分開走就花費了8+10=18分鐘,如果他們能一起走,反而時間會縮短一些,但前提是要有快腿先到對面待命。

正解

  • 第一趟甲乙過去(4min) 甲回來(2min)
  • 第二趟丁戊過去(10min) 乙回來(4min)
  • 第三趟甲丙過去(6min) 甲回來(2min)
  • 第四趟甲乙過去(4min) 一共花了4+2+10+4+6+2+4=32分鐘

比剛剛的答案還要再快兩分鐘👏👏

最後附上類似題目的遊玩連結過橋遊戲,大家可以玩玩看喔。

解答完畢,底下是補充環節。

補充

其實我有好奇過,是不是不同人數、不同秒數會有不同的答案,但自己也漸漸淡忘掉了,這一題也一直保存在我的雲端硬碟裡,這次趁此機會Google了一番,查資料的時候意外發現,原來過橋問題的推廣相當深遠,甚至可以當作計算機概論的題型,另外搜尋到一份2019年的「嘉義市第三十七屆中小學科學展覽會」,其主題正好就是過橋問題,不過內容涉及大量的符號與數字計算,請慎入。(點這裡)

雖是科展主題,老師可能會從旁協助,但細讀內文,發現參展學生每個環節的想法都非常用心且細微,不斷將問題推廣到人數更多,或秒數恰為等差、等比等情形來討論,也透過窮舉、計算等方式來輔證想法,內容相當精彩,在此我引用一下他推導出來的結論(連結裡也有)

將上述出錯情形稱為一人提燈走法(因為回程都是甲走),正解情形稱為二人提燈走法

設一共n人過橋,設速度最快者為P1,秒數為W;第二快者為P2,秒數為X;第二慢的人為Pn-1,秒數為Y,最慢的人為Pn,秒數為Z,即W<X<......<Y<Z。

  • 若X<(W+Y)/2,則使用二人提燈走法
  • 若X>(W+Y)/2,則使用一人提燈走法
  • 若剩餘人數少於4人時,使用一人提燈走法走完剩餘路程。
跟大家分享我的想法以及我的所見所聞 很多事情沒有對錯 多想想 多思考
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