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數學也能拯救世界？淺談二戰美國與生存者偏誤

第二次世界大戰是人類歷史上截至目前為止最兇殘的一場戰爭（沒有之一）。這場戰爭波及了當時世界上幾乎所有的主要國家，共計奪走了上千萬條人命。光是在歐洲一地，第二次世界大戰便帶走了快要三分之一的總人口。

眾所皆知的是，第二次世界大戰最後以美國為首的盟軍取得勝利。當時的美國挾帶著厚實的經濟基礎及龐大的空軍優勢，帶領著盟軍擊敗了納粹德國及日本軍閥，重新為世界帶來和平的曙光。

然而，許多人可能不知道的是，美國在第二次世界大戰期間的表現，不僅仰賴在生產線上製作武器的工人及在前線戰場上勇敢殺敵的士兵，也於很大程度上仰賴在後方努力工作的數學家與科學家。若非這些數學家與科學家，美國恐怕很難在戰場上取得先機，擊敗當時稱得上科技強權的軸心國。

亞伯拉罕‧沃德（Abraham Wald，1902—1950）便是其中一位在第二次世界大戰期間為美國政府效力的數學家。拜他所賜，美國空軍才能夠以優異的作戰能力擊敗納粹德國，為盟軍登陸歐陸進行反攻提供了絕佳的制空條件。

沃德在1902年出生於奧匈帝國統治下的工業重鎮克勞森堡（Klausenburg），大學期間在維也納大學攻讀數學，並在畢業後短暫地進入奧地利經濟研究所（WIFO）服務，基本上是一個歐洲人。

然而，作為猶太裔的歐洲人，沃德在納粹德國於1938年合併奧地利時，為了躲避蓋世太保的追捕，在美國經濟學研究機構考爾斯基金會（Cowles Commission for Research in Economics）的獎助下來到了美國，並很快地以其卓越的數學技能被美國政府挖角到哥倫比亞大學參與統計研究組的工作。他在小組當中的主要工作，是替美國軍方分析各種數據，並根據分析結果提供適當的軍事建議。

當時，美國軍方希望能夠整體提升美軍戰機的性能。他們一方面希望能夠增強戰機的裝甲好防禦敵軍子彈，但另外一方面又希望避免裝了太厚的裝甲會導致機身過重，引起耗油量過大或靈活度降低的問題。

美國軍方藉由觀察從前線返回的戰機發現，敵軍子彈所造成的彈孔大多分布在機翼及機身上。為此，他們把這項任務交給了沃德，希望沃德能夠發展出一套公式，計算出裝在機翼及機身的鋼板最好應該是多厚，才能有效地防禦敵軍子彈，又不致導致耗油量過大或靈活度降低。

美國軍方把這項任務交給沃德時，本來希望能夠盡快地解決這個問題，好讓他們馬上為上前線作戰的戰機加裝適量厚度的鋼板。然而，他們沒有想到的是，沃德竟然提供給了他們一個完全不同的回答。

沃德在觀察了軍方所提供的各種數據後，強力主張軍方不應當在容易中彈的機翼及機身加裝鋼板，相反地應當在彈孔最少的地方——引擎及座艙——加裝鋼板。

和軍方的統計分析師不一樣的是，沃德作為一名數學家，是以數學家的角度來思考上面的問題。他採用了任何一個數學家都會採用的方式來思考這個問題——他在思考任何問題前都會先提出一個合理的假設，再從這個假設出發去理解他所能掌握的資訊或訊息。

在面對美國軍方交給他的任務時，他先提出了一個合理的假設——敵軍的子彈不長眼睛，不可能只專門攻擊我軍戰機的特定部位。也就是說，敵軍子彈在戰機上所造成的彈孔在理論上說起來應該要是隨機分布，不應只特定集中在機翼及機身。

然而，實際觀察相關數據後，沃德發現軍方所提供的數據顯示大多數彈孔都位在特定部位——也就是機翼及機身上。於是，沃德反問：「那些引擎及座艙部位中彈的戰機都到哪裡去了呢？」

經過仔細地檢查數據後，沃德驚訝地發現那些其他部位中彈的戰機並不是不存在，而是沒有出現在軍方所收錄的數據內。也就是說，那些引擎或座艙中彈的戰機，都已經在外海墜毀回不來了！

在這樣子的基礎上，沃德發現戰機的機翼及機身中彈並不會構成什麼太大的危險——畢竟，許多戰機在機翼及機身中彈後，仍然能夠安然返回。但戰機的引擎及座艙一旦中彈，順利生還的機會就微乎其微了！

為此，沃德努力遊說軍方在引擎及座艙裝設能夠有效抵禦敵軍子彈的裝甲，最後終於成功地大幅降低了戰機受到攻擊墜毀的機率，並提升了美國戰機在戰場上的表現及作戰能力。

沃德在第二次世界大戰期間所發現的這種情形——亦即軍方忽略了那些被擊落墜毀的戰機，僅把那些順利從前線返回的戰機作為整體戰機之樣本的情形——稱為「生存者偏誤」（survivorship bias）。

從後人的角度來看，我們很難說沃德在第二次世界大戰的作為是導致美國贏得第二次世界大戰的關鍵。然而，無疑的是，若非沃德在當時發現了後來著名的、人類思考的盲點「生存者偏誤」，顯然會有更多軍人命喪於戰場。