一階微分方程_Separable Equations

基本概念

微分方程 (Differential Equation)表示包含未知函數以及它的導數的方程式。而所謂一階微分方程 (first-order differential equations)，也就是只涉及一階導數 y′ 的方程式。

一個最簡單直觀的例子就是: y′ - cos(x) = 0，它的解就是 y = sin(x)。

Separable Equation

那麼就稱它為 可分離 (separable)，意思是等式右邊的組成為「只依賴 x 的函數」乘以「只依賴 y 的函數」。

接下來的解題步驟為:

• 把 y 相關的項目移到一邊，x 相關的移到另一邊

• 積分兩邊

• 解出 y(x)，解出的式子不管是顯式形式(指一個函數能夠明確地表示為一個變數（例如 y）與其他變數（例如 x）之間的關係，例如 y=2x+1。在這種情況下，y 的值可以由 x 的值直接計算出來)還是隱式形式(指 x 和 y 混合出現在方程式中的形式，而非簡單的 y=f(x)，例如f(x,y) = c)，都算是正確答案，稱為一般解或通解(General Solution)。
• 檢查奇異解(Singular Solution)：在分離時有可能假設 G(y) ≠ 0，但若 G(y) = 0 本身也能解原方程，就要另外補上這些「奇異解」。

範例: 解微分方程

解:

整理方程式

部分分式分解

積分

經推導:

解出通解

檢查奇異解

在分離變數的過程中，分母:

因此排除了: y = 0、y = 1，但是這兩個解代回原方程式後，仍然滿足微分方程，因此它們是 奇異解 (singular solutions)。

範例: 解初值問題

解:

方程式整理

微分方程需滿足 y≠−3。改寫為微分形式:

積分

經推導:

這就是隱式通解。

套用初值條件

代入 x=3,y=−1:

因為 ln⁡|−1| = ln⁡1 = 0，所以

最終解答