🚀 A. 極限與連續（8 單元）
主題核心：工程模型為什麼能成立
🎯 1. 工程師為什麼離不開「極限」這個概念？
⛓️ 2. 連續性：為什麼現實系統不能突然跳變？🌪️ 3. 常見工程函數在極端條件下會發生什麼事？
🔍 4. 無窮小的工程直覺：近似從哪裡開始失真？
🚧 5. 漸近行為：工程模型的安全使用邊界
⚠️ 6. 不連續會造成什麼工程災難？
✂️ 7. 用極限簡化模型：什麼時候合理、什麼時候危險？
🧠 8. 極限不是算式，而是工程判斷力的起點
導讀：極限不是考試技巧，而是工程安全雷達
在多數學生的記憶裡，極限（Limit）是一種考試技巧：
x → 0 時，分母怎麼辦？
x → ∞ 時，要不要約掉？
但在工程世界中，極限從來不是「解題技巧」，而是：
👉 用來判斷模型是否還可信的安全邊界
換句話說：
極限不是在算答案，而是在問：
「當系統被推到邊緣時，它還正常嗎？」
一、現實世界沒有完美公式，只有「可接受誤差」
任何工程模型，本質上都是：
✅ 對真實世界的近似
例如：
電阻假設是線性的
電容忽略漏電 無線通道假設是平穩的
這些假設在某個範圍內成立。
極限的角色：
👉 幫助工程師確認：
這個「成立範圍」到哪裡為止？
二、極限的工程語言：當輸入靠近某個狀態時，系統會趨向什麼行為？
✔ 線性公式
lim_{x -> a} f(x)
工程語言翻譯：
👉 當參數「逼近某狀態」時，
👉 系統會趨向什麼反應？
不是瞬間跳到某點，而是：
👉 慢慢逼近的趨勢
三、放大器增益的極限直覺
假設某放大器模型：
Gain = A / (1 + A*β)
當 A → ∞ 時：
lim_{A -> ∞} A / (1 + A*β) = 1 / β
工程意義：
👉 即使內部增益再大
👉 最終輸出仍受回授 β 限制
這告訴工程師：
✅ 不需要追求無限大的晶體管增益
✅ 系統行為早已「收斂」
四、為什麼工程師關心「趨近」，而不是「等於」？
因為在現實中：
沒有真正的 0
沒有真正的 ∞ 沒有真正連續的理想元件
工程師問的是：
👉 當我們非常接近某狀態時，會發生什麼？
這比「剛好等於」重要一萬倍。
五、極限 = 工程安全感
極限幫助工程師回答三個關鍵問題：
1️⃣ 系統會不會爆掉？
如果
lim -> ∞
代表能量、電壓、電流可能無上限
👉 設計必須修改
2️⃣ 系統會不會發散？
如果輸入變小，輸出反而越來越大
👉 回授或模型錯誤
3️⃣ 系統是否可預測？
如果極限存在
👉 行為可預測
👉 工程上可控制
六、極限其實在告訴你：模型何時會失效
函數：
f(x) = 1 / x
當 x → 0 時：
lim_{x -> 0} 1 / x = ∞
工程解讀：
👉 當分母接近 0
👉 系統輸出爆炸 👉 代表模型在此區域不適用
七、工程師思維 vs 學生思維
學生思維：
算出答案是多少
有沒有算對 套公式
工程師思維：
這個答案可信嗎
在哪個範圍內成立 判斷行為趨勢
八、極限與未來工程的關係
在：
6G 高頻通訊
奈米製程 高功率電力電子 AI 加速器
所有參數都在逼近極端。
沒有極限觀念：
👉 等同於閉眼設計。
九、工程版一句話總結
👉 極限不是數學技巧，而是工程師判斷「模型還能不能用」的雷達。
十、本單元你應該建立的直覺
✔ 當參數變大 → 系統會收斂還是爆炸？
✔ 當參數變小 → 行為是否穩定？ ✔ 是否存在一個「安全工作區間」？
🔜 下一單元預告
⛓️ 2／60 連續性：為什麼現實系統不能突然跳變？
