導讀：工程師關心的是「長時間下來如何」
瞬間峰值很漂亮
瞬間低谷很糟糕
但工程師真正會問的是：👉 長時間運作下來，表現如何？
這個問題的答案就是：
👉 平均值
一、平均值的數學定義
對時間訊號 f(t)：
f_avg = (1 / (t₂ − t₁)) · ∫ₜ₁ᵗ² f(t) dt
工程語言：
👉 先把整段時間的總量算出來
👉 再除以時間長度
也就是：
👉 把累積攤平
二、平均值的物理意義
平均功率：
P_avg = (1 / (t₂ − t₁)) · ∫ₜ₁ᵗ² p(t) dt
平均電流：
I_avg = (1 / (t₂ − t₁)) · ∫ₜ₁ᵗ² i(t) dt
工程意義：
👉 系統長期承受的水準
三、為什麼平均值比峰值重要？
因為：
👉 散熱設計看平均功率
👉 電池壽命看平均電流 👉 網路設備看平均流量
峰值決定瞬間極限
平均值決定能不能長久運作
四、週期訊號的平均值
若訊號週期為 T：
f_avg = (1 / T) · ∫₀ᵀ f(t) dt
工程意義：
👉 每一個週期的長期代表值
五、工程實例：PWM 控制
👉 改變佔空比
👉 就是在改變平均電壓 👉 進而改變馬達轉速或亮度
六、工程版一句話總結
👉 平均值代表系統的真實生活水準。
七、本單元你應該建立的直覺
✔ 看平均，不只看峰值
✔ 平均決定壽命 ✔ 平均決定成本
🧮 單元案例題（平均功率）
某裝置功率隨時間變化為：
p(t) = 20 + 10t（W），0 ≤ t ≤ 4 s
求：0 到 4 秒內的平均功率 P_avg。
解題
先算累積能量：
E = ∫₀⁴ (20 + 10t) dt
= [ 20t + 5t² ]₀⁴ = 80 + 80 = 160 J
再除以時間長度：
P_avg = 160 / 4
= 40 W
工程直覺
👉 功率隨時間上升
👉 前段小、後段大 👉 平均後得到系統長期負載為 40 W
✅ 本單元核心帶走一句話
峰值告訴你「能撐多久」，
平均值告訴你「能活多久」。
