舊業重溫17--斜邊定長的直角三角形求兩股和最大值

本文繼續討論最大值問題,也是從網路上看到的,筆者同樣提供多種解題方案。先看題目:

解法一: (古典幾何)

這些知識都在國中數學教過,學好了便能夠理解下述解法。

請參考左圖。將直角頂點設為A,較長的股設為AB,較短者設為AC,取出斜邊BC的中點D,
則 DA長=DB長=DC長=10÷2=5,
自A向斜邊作垂線交於E,
令DE長=x, 其中 0≦x≦5,
則BE長=5+x, CE長=5-x,

根據畢氏定理,
在△ADE中, AE²=AD² – DE² = 5² – x²,
在△ABE中, AB²=BE²+AE²=(5+x)²+(5² – x²)= 5² +10x + x² + 5² – x² = 50+10x ,
在△ACE中, AC²=CE²+AE²=(5 - x)²+(5² – x²)= 5² –10x + x² + 5² – x² = 50 –10x ,

在根號內,變數 x² 越小,根號值越大,於是右式越大,亦即 k² 越大,
而最小的情況是 x² = 0, ∴ x = 0時可得最大值 k²=100 + 20．5 = 200
∴兩股長之和最大值為 k=√200 = 10√2

其實還有另類的思考方向。如果把兩股長分別設為 x與 y,
∵△ABC是直角三角形,斜邊長10,則有 x²+y² =10² =100  ……(ㄅ),
∴本題可以轉換成:在滿足x²+y² =100條件下,求 x+y 的最大值。

讀友們是否發現?這問題跟前一篇《舊業重溫16》頗為雷同。那麼,前一篇的各種解題思考仍能派上用場嗎?的確可以,而且演算上更加輕鬆。以下就讓讀友們套用前一篇的各種解法,來鍛練身手,筆者只做簡要提示,歡迎大家將詳解回饋於篇末留言。未讀過或已經忘記的讀友,敬請先重溫一遍。

解法二: (配方)

令x+y=k, 則y=k – x, 代入(ㄅ)式, 乘開, 配方, … 化成

然後 …

解法三: (算幾不等式)

令x+y=k, 則
k² =(x+y)² = x²+y² + 2xy = 100+2xy≦100 + 2．50

然後 …

解法四: (三角函數)

假設∠B=θ,則兩股長可分別表示為10cosθ與10sinθ,
則 x+y = 10cosθ+ 10sinθ (再來套用和角公式)
      = …
      =10√2 sin( θ+45゜)

然後 …

高中數學有兩個重要不等式, 算幾不等式是其一,另外就是柯西不等式:

a,b,x,y是任意實數, (a²+b²)( x²+y² )≧(ax + by)² ……(ㄆ)

若能善加運用,本題就變得輕而易舉。

解法五: (柯西不等式)

我們取 a=1, b=1,
(1²+1²)( x²+y² )≧( 1．x + 1．y )²
2．100 ≧(x+y)²
∴ √200 ≧ x+y, 即10√2 ≧ x+y,

同樣地,如果立刻寫上答案10√2,那是武斷了些,我們必須追究是否等號能成立。

柯西不等式(ㄆ)等號成立的充要條件是 a:x = b:y,

本題就是 x=y,
代入方程式(ㄅ),得到 x² = y² =50, 即 x=y=5√2,
果然 x+y=10√2, 可確信為最大值。

[陳傳義]拍攝