前一篇《舊業重溫9》提到,高中數學課程裡,並未有一套可解所有四次多項方程式的固定方法,雖然文中談及轉化成解二次方程原則,但前人仍發展出許多方法,應對各種不同的情況。該文儘管提供三種解法,猶然遠遠不足。剛好最近在油管(YouTube)上看到一則解四次方程式的影片,本文且藉由該方程式,來提供多一些技法,
前一篇《舊業重溫9》提到,高中數學課程裡,並未有一套可解所有四次多項方程式的固定方法,雖然文中談及轉化成解二次方程原則,但前人仍發展出許多方法,應對各種不同的情況。該文儘管提供三種解法,猶然遠遠不足。剛好最近在油管(YouTube)上看到一則解四次方程式的影片,本文且藉由該方程式,來提供多一些技法,
雖然四次多項方程式有公式解,高中課程並不教。高中生遭遇的題目通常最終可以轉化成解二次方程。解法大概有以下四種類型:
一、試算找出兩個解,便可分解成一次與二次因式的乘積。
二、嘗試分解成兩個二次因式乘積。
三、引進新變數代換成二次方程式的形式。
四、經由提示一個虛根,可分解為兩個二次因式乘積。
雖然四次多項方程式有公式解,高中課程並不教。高中生遭遇的題目通常最終可以轉化成解二次方程。解法大概有以下四種類型:
一、試算找出兩個解,便可分解成一次與二次因式的乘積。
二、嘗試分解成兩個二次因式乘積。
三、引進新變數代換成二次方程式的形式。
四、經由提示一個虛根,可分解為兩個二次因式乘積。
國中數學第三冊開始學根號√,把一個正數x放進裡面,代表x的正平方根,也就是平方以後剛好等於x的正數。這裡的x一般都從正整數開始學起,當x恰好是完全平方數(可等於某一正整數的平方),例如1、4、9、16、25等, √x會等於正整數;否則不但不等於任何整數,也不能等於任何兩個正整數的比值(數學家把這樣的
國中數學第三冊開始學根號√,把一個正數x放進裡面,代表x的正平方根,也就是平方以後剛好等於x的正數。這裡的x一般都從正整數開始學起,當x恰好是完全平方數(可等於某一正整數的平方),例如1、4、9、16、25等, √x會等於正整數;否則不但不等於任何整數,也不能等於任何兩個正整數的比值(數學家把這樣的
據說這是哈佛大學的考題，吸引幾個油挑伯(YouTuber)製作解題影片，妙的是解法都用一樣的巧招，這留待後面來談。
先解釋一下，本題不是求近似值，用手機上的計算器或找谷歌幫忙，會得到近似值答覆，不滿足要求。所謂化簡，是指計算成a+b√2形式，其中a與b是整數，可能正也可能負。
據說這是哈佛大學的考題，吸引幾個油挑伯(YouTuber)製作解題影片，妙的是解法都用一樣的巧招，這留待後面來談。
先解釋一下，本題不是求近似值，用手機上的計算器或找谷歌幫忙，會得到近似值答覆，不滿足要求。所謂化簡，是指計算成a+b√2形式，其中a與b是整數，可能正也可能負。
在四五十年以前的遙遠年代，中學的數學課有教解無理方程式--就是像這種未知數藏在根號內的方程式，現在則為了減輕學生負擔，已經廢棄了。不過，對於好學敏求的人，其實並不難學習，只要能化為多項方程式，接下來就是現行課綱所教的了。對於有根號的無理方程式，應如何化為多項方程式？
在四五十年以前的遙遠年代，中學的數學課有教解無理方程式--就是像這種未知數藏在根號內的方程式，現在則為了減輕學生負擔，已經廢棄了。不過，對於好學敏求的人，其實並不難學習，只要能化為多項方程式，接下來就是現行課綱所教的了。對於有根號的無理方程式，應如何化為多項方程式？
看起來，即使不是競試題，也像是培養競試選手的練習題，因為數字是嚇死人的大。當然如果允許使用計算器，那比的是操作計算器的技能，不是考數學，就沒意思了。目前中小學考試通常尚未開放使用，還得靠手、腦、筆、紙，但真要硬把4個四位數乘起來，結果是一個14位數，再來個開根號，可不是尋常學生能辦到的，估計要困住
看起來，即使不是競試題，也像是培養競試選手的練習題，因為數字是嚇死人的大。當然如果允許使用計算器，那比的是操作計算器的技能，不是考數學，就沒意思了。目前中小學考試通常尚未開放使用，還得靠手、腦、筆、紙，但真要硬把4個四位數乘起來，結果是一個14位數，再來個開根號，可不是尋常學生能辦到的，估計要困住
他花了20分鐘，寫了好幾張紙，先把所求設為x，經過高達四位數的冗長計算，推出一個x的方程式，還有一項分母帶未知數，x的頭上都有5次方。這已經夠嚇人了，竟再引入另一個未知數m = ( x – 2/x )，再歷經辛苦的計算，變出一個m的五次方程式，推出一個合理解，再回頭據以求x。哎呀呀，他是想把學生嚇退
他花了20分鐘，寫了好幾張紙，先把所求設為x，經過高達四位數的冗長計算，推出一個x的方程式，還有一項分母帶未知數，x的頭上都有5次方。這已經夠嚇人了，竟再引入另一個未知數m = ( x – 2/x )，再歷經辛苦的計算，變出一個m的五次方程式，推出一個合理解，再回頭據以求x。哎呀呀，他是想把學生嚇退
1.本文提供的三種解法,似乎後兩種在計算上比較輕鬆,但其實計算的難易可能因題目給的數字或條件不同,而有差異,不能一概而論。譬如,當一元二次方程式的兩根是整數,那用解法1最簡單,何須大費周章?
2.題(2)求立方和,解法3要利用計算平方和的結果,而解法2則不必,所以題目如果不要學生算平方和,
1.本文提供的三種解法,似乎後兩種在計算上比較輕鬆,但其實計算的難易可能因題目給的數字或條件不同,而有差異,不能一概而論。譬如,當一元二次方程式的兩根是整數,那用解法1最簡單,何須大費周章?
2.題(2)求立方和,解法3要利用計算平方和的結果,而解法2則不必,所以題目如果不要學生算平方和,
結語：循規蹈矩的算法是萬用的原則，但這兩題命題者顯然有引導學生善用運算性質的用心，因為在不使用計算器的情況下，不必像爬過高山一般，計算龐大的數字，減輕了負擔，縮短了計算時間，並降低犯錯的機會。
學生平時應多練習解題，並多思考、嘗試不同的方法，經驗豐富了，就容易迅速找出捷徑，窺知出題者的小心思。
結語：循規蹈矩的算法是萬用的原則，但這兩題命題者顯然有引導學生善用運算性質的用心，因為在不使用計算器的情況下，不必像爬過高山一般，計算龐大的數字，減輕了負擔，縮短了計算時間，並降低犯錯的機會。
學生平時應多練習解題，並多思考、嘗試不同的方法，經驗豐富了，就容易迅速找出捷徑，窺知出題者的小心思。
前一篇《舊業重溫9》提到,高中數學課程裡,並未有一套可解所有四次多項方程式的固定方法,雖然文中談及轉化成解二次方程原則,但前人仍發展出許多方法,應對各種不同的情況。該文儘管提供三種解法,猶然遠遠不足。剛好最近在油管(YouTube)上看到一則解四次方程式的影片,本文且藉由該方程式,來提供多一些技法,
前一篇《舊業重溫9》提到,高中數學課程裡,並未有一套可解所有四次多項方程式的固定方法,雖然文中談及轉化成解二次方程原則,但前人仍發展出許多方法,應對各種不同的情況。該文儘管提供三種解法,猶然遠遠不足。剛好最近在油管(YouTube)上看到一則解四次方程式的影片,本文且藉由該方程式,來提供多一些技法,
雖然四次多項方程式有公式解,高中課程並不教。高中生遭遇的題目通常最終可以轉化成解二次方程。解法大概有以下四種類型:
一、試算找出兩個解,便可分解成一次與二次因式的乘積。
二、嘗試分解成兩個二次因式乘積。
三、引進新變數代換成二次方程式的形式。
四、經由提示一個虛根,可分解為兩個二次因式乘積。
雖然四次多項方程式有公式解,高中課程並不教。高中生遭遇的題目通常最終可以轉化成解二次方程。解法大概有以下四種類型:
一、試算找出兩個解,便可分解成一次與二次因式的乘積。
二、嘗試分解成兩個二次因式乘積。
三、引進新變數代換成二次方程式的形式。
四、經由提示一個虛根,可分解為兩個二次因式乘積。
國中數學第三冊開始學根號√,把一個正數x放進裡面,代表x的正平方根,也就是平方以後剛好等於x的正數。這裡的x一般都從正整數開始學起,當x恰好是完全平方數(可等於某一正整數的平方),例如1、4、9、16、25等, √x會等於正整數;否則不但不等於任何整數,也不能等於任何兩個正整數的比值(數學家把這樣的
國中數學第三冊開始學根號√,把一個正數x放進裡面,代表x的正平方根,也就是平方以後剛好等於x的正數。這裡的x一般都從正整數開始學起,當x恰好是完全平方數(可等於某一正整數的平方),例如1、4、9、16、25等, √x會等於正整數;否則不但不等於任何整數,也不能等於任何兩個正整數的比值(數學家把這樣的
據說這是哈佛大學的考題，吸引幾個油挑伯(YouTuber)製作解題影片，妙的是解法都用一樣的巧招，這留待後面來談。
先解釋一下，本題不是求近似值，用手機上的計算器或找谷歌幫忙，會得到近似值答覆，不滿足要求。所謂化簡，是指計算成a+b√2形式，其中a與b是整數，可能正也可能負。
據說這是哈佛大學的考題，吸引幾個油挑伯(YouTuber)製作解題影片，妙的是解法都用一樣的巧招，這留待後面來談。
先解釋一下，本題不是求近似值，用手機上的計算器或找谷歌幫忙，會得到近似值答覆，不滿足要求。所謂化簡，是指計算成a+b√2形式，其中a與b是整數，可能正也可能負。
在四五十年以前的遙遠年代，中學的數學課有教解無理方程式--就是像這種未知數藏在根號內的方程式，現在則為了減輕學生負擔，已經廢棄了。不過，對於好學敏求的人，其實並不難學習，只要能化為多項方程式，接下來就是現行課綱所教的了。對於有根號的無理方程式，應如何化為多項方程式？
在四五十年以前的遙遠年代，中學的數學課有教解無理方程式--就是像這種未知數藏在根號內的方程式，現在則為了減輕學生負擔，已經廢棄了。不過，對於好學敏求的人，其實並不難學習，只要能化為多項方程式，接下來就是現行課綱所教的了。對於有根號的無理方程式，應如何化為多項方程式？
看起來，即使不是競試題，也像是培養競試選手的練習題，因為數字是嚇死人的大。當然如果允許使用計算器，那比的是操作計算器的技能，不是考數學，就沒意思了。目前中小學考試通常尚未開放使用，還得靠手、腦、筆、紙，但真要硬把4個四位數乘起來，結果是一個14位數，再來個開根號，可不是尋常學生能辦到的，估計要困住
看起來，即使不是競試題，也像是培養競試選手的練習題，因為數字是嚇死人的大。當然如果允許使用計算器，那比的是操作計算器的技能，不是考數學，就沒意思了。目前中小學考試通常尚未開放使用，還得靠手、腦、筆、紙，但真要硬把4個四位數乘起來，結果是一個14位數，再來個開根號，可不是尋常學生能辦到的，估計要困住
他花了20分鐘，寫了好幾張紙，先把所求設為x，經過高達四位數的冗長計算，推出一個x的方程式，還有一項分母帶未知數，x的頭上都有5次方。這已經夠嚇人了，竟再引入另一個未知數m = ( x – 2/x )，再歷經辛苦的計算，變出一個m的五次方程式，推出一個合理解，再回頭據以求x。哎呀呀，他是想把學生嚇退
他花了20分鐘，寫了好幾張紙，先把所求設為x，經過高達四位數的冗長計算，推出一個x的方程式，還有一項分母帶未知數，x的頭上都有5次方。這已經夠嚇人了，竟再引入另一個未知數m = ( x – 2/x )，再歷經辛苦的計算，變出一個m的五次方程式，推出一個合理解，再回頭據以求x。哎呀呀，他是想把學生嚇退
1.本文提供的三種解法,似乎後兩種在計算上比較輕鬆,但其實計算的難易可能因題目給的數字或條件不同,而有差異,不能一概而論。譬如,當一元二次方程式的兩根是整數,那用解法1最簡單,何須大費周章?
2.題(2)求立方和,解法3要利用計算平方和的結果,而解法2則不必,所以題目如果不要學生算平方和,
1.本文提供的三種解法,似乎後兩種在計算上比較輕鬆,但其實計算的難易可能因題目給的數字或條件不同,而有差異,不能一概而論。譬如,當一元二次方程式的兩根是整數,那用解法1最簡單,何須大費周章?
2.題(2)求立方和,解法3要利用計算平方和的結果,而解法2則不必,所以題目如果不要學生算平方和,
結語：循規蹈矩的算法是萬用的原則，但這兩題命題者顯然有引導學生善用運算性質的用心，因為在不使用計算器的情況下，不必像爬過高山一般，計算龐大的數字，減輕了負擔，縮短了計算時間，並降低犯錯的機會。
學生平時應多練習解題，並多思考、嘗試不同的方法，經驗豐富了，就容易迅速找出捷徑，窺知出題者的小心思。
結語：循規蹈矩的算法是萬用的原則，但這兩題命題者顯然有引導學生善用運算性質的用心，因為在不使用計算器的情況下，不必像爬過高山一般，計算龐大的數字，減輕了負擔，縮短了計算時間，並降低犯錯的機會。
學生平時應多練習解題，並多思考、嘗試不同的方法，經驗豐富了，就容易迅速找出捷徑，窺知出題者的小心思。