舊業重溫14--有45°角求線段長度問題

本文延續《舊業重溫12》、《舊業重溫13》,繼續從YT上取材,分別用國中、高中的方法解題,不過,我們換成求長度的問題。

題目:

圖一

∠CAD=45°, AB邊長3, CD線段長5,

求AD線段長。

解法一(古典幾何法)

45°是特別角,這引起我們注意,因為在國中數學裡學到,有45°內角的直角三角形,邊長比為
1:1:√2, 但很遺憾,圖一的45°並非直角△ABD的內角。
對了,那就創造出一個有45°內角的直角三角形吧。

圖二

過D向AC直線作垂直線,交於E點。(如圖二)
則△AED就是等腰直角三角形,
∴ AE長 = DE長,假設其長為x。
又∵∠BCA=∠ECD, ∠B=∠E=90°,
∴△ABC～△DEC  (依據AA相似性質)
∴AC長：DC長= AB長：DE長
= BC長：EC長 ……(ㄅ)

平方之: (15 – y² )² = 5² (y² – 9)。接著解方程式。
15²– 2．15y² + (y² )² = 25y² –25．9
y⁴ –30y² - 25y² +225 + 225 = 0
(y² )² - 55y² + 450 = 0
(y² –45)( y² –10)=0
∴ y² = 45 或 y² = 10

當y² = 45,

此結果違背圖二中AC長(=y) < AE長(=x),故不合。

當y² = 10,

解法二(三角函數法)

下述解法以具備如後基礎知識者為宜:
1.直角三角形正切函數(tan)的定義; 2.tan45°=1; 3.正切函數和角公式。

圖三

(參考圖三)
設∠BCA=α, ∠BDA=β,
則α=β+45° (∵外角等於遠內角和)
又設BC線段長為x,
則BD線段長為x+5,

依正切函數定義,

∴ 3(x+2) = x(x+8)
   3x+6 = x² + 8x
   x² + 8x – 3x –6 = 0
   x² + 5x –6 = 0
   (x+6)(x-1)=0
∵ x>0  ∴ x=1

則BD線段長為 1+5=6。

依畢氏定理,
AD² = AB² + BD² = 3² + 6² = 9+36 = 45
∴ AD長為√45 = 3√5

圖四: 天堂鳥花 ([陳傳義]拍攝)