— 坡印亭向量 S = E × H 直接告訴你：功率「在哪裡」流、往「哪裡」流、為什麼會外洩成 EMI、為什麼回流設計就是在畫能量的路。
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🎯 單元學習目標
完成本單元後，你將能夠：
- 用一句話講清楚坡印亭向量 S 的工程意義（方向＝路徑，大小＝功率密度）
- 分清楚三件事：瞬時 S(t)、時間平均 ⟨S⟩、以及穿過面積的總功率 P
- 用右手定則快速判斷能量流方向（E、H、S 的三軸關係）
- 看懂「P=VI」與「P=∬ S·dA」其實是在講同一件事
- 用 S 的觀點解釋：傳輸線回流、地平面切割、迴路面積與 EMI 的因果鏈
- 把 S 套到三個經典場景：傳輸線、天線輻射、波導/矽光子
- 會做 3 種工程估算：|S|、P_through、以及效率/損耗的直覺定位
🧭 一、先用一句話定義坡印亭向量：它是「功率的 GPS」 坡印亭向量： S = E × H
✅ 工程版解讀：
- S 的方向：能量（功率）在空間中往哪裡走
- |S|：每平方米穿過多少功率（W/m²）
- ∬ S·dA：穿過某個截面的總功率（W）
一句話：S 把功率從抽象數字變成可追蹤的路徑。
圖 1｜E、H、S 右手定則：S 指向能量傳播方向
E ↑
│ │ S → │ ↗ └────→ H
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🧩 二、三個你一定要分清楚的版本：S(t)、⟨S⟩、P
(1) 瞬時坡印亭向量 S(t)
- 任何時刻的能量流密度
- 適用：脈衝、開關電源、ESD、雷擊浪湧（看尖峰）
(2) 時間平均 ⟨S⟩（週期訊號最常用）
對正弦穩態，工程上更常看平均功率流：
⟨S⟩ = 1/T ∫₀ᵀ S(t) dt
✅ 工程直覺：
- RF/光學鏈路算功率，多半是在算 ⟨S⟩ 的面積分
- EMI 量測（頻域）也常對應平均功率外洩
(3) 穿過面積的總功率 P（真正跟 V、I 對得上的那個）
P_through = ∬_A S · dA
✅ 這就是你在電路學的 P = VI 的「場論版本」。
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🧮【數學補強 A｜P=VI 與 ∬S·dA 為何不矛盾？（工程版統一）】 在傳輸線/兩導體結構中：
- 電壓 V 對應兩導體間的電場線積分：V = ∫ E·dl
- 電流 I 對應圍繞導體的磁場線積分：I = ∮ H·dl
而功率：
P = VI 也等價於： P = ∬ (E × H) · dA = ∬ S · dA
✅ 工程翻譯：
你在電路世界量到的 V、I，只是把「場的分佈」濃縮成兩個端口變數。 坡印亭向量是在告訴你：那個功率其實是怎麼在空間搬運的。
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🧠 三、最關鍵的直覺：為什麼 S 能抓住 EMI 的根因？
EMI 的本質不是「有雜訊」而已，
而是： ✅ 有能量從你設計的導引路徑外洩到自由空間
用坡印亭語言翻譯：
- 你想要：S 乖乖沿著訊號線與回流路徑走
- 你害怕：S 被迫外擴、穿過機殼縫隙、穿過線束迴路、輻射出去
所以：
- 回流越貼近 → 場越被約束 → S 越集中 → 外洩越小
- 迴路越大 → 場越外擴 → S 越容易跑出去 → EMI 越大
圖 2｜回流路徑控制 S：回流貼近 vs 回流繞遠
良好回流（S 被夾住）
Signal ───────────→ GND ───────────→
回流被迫繞遠（S 外擴外洩）
Signal ───────────→ GND ────┐ ┌──→ └───┘
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🛠️ 四、工程三大場景：用 S 把「功率路徑」看見
(A) ⚡ 傳輸線 / 高速 PCB：S 走在介質裡，貼著回流走
在微帶線/帶狀線裡：
- E 主要分佈在訊號線與參考平面之間（介質內）
- H 圍繞著電流與回流形成迴路
→ S = E×H 主要沿著線的方向前進
✅ 工程結論：
你設計阻抗，其實是在設計場分佈；你設計回流，其實是在設計 S 的路徑。
圖 3｜微帶線的能量流（概念圖）
Signal ───────────→
介質 █████████████ （E 多在這裡） GND ───────────→
S 主要沿著訊號方向、集中在介質區域
(B) 📡 天線：⟨S⟩ 的空間分佈就是方向圖
天線把導引的 S 轉換成往外擴散的 S：
- 近場：能量在 E/H 間交換、可能有來回儲能（反應能）
- 遠場：能量穩定往外送，E ⟂ H ⟂ S
✅ 工程結論：
方向圖不是神祕曲線，它就是不同方向上的 ⟨S⟩ 大小。
圖 4｜遠場能量流往外（S 往外）
↑ S
↗ | ↖
↗ | ↖
(天線)
(C) 🧠 波導/矽光子：S 被鎖在模態裡，損耗就是 S 被吃掉/漏掉
波導用邊界條件把場鎖成模態：
- 主導傳輸方向：S 大部分沿著波導方向
- 介面粗糙/材料吸收：等效把 S 的一部分轉為熱（p_loss）
- 彎曲/不連續：使 S 漏到輻射模態（變成外洩）
✅ 工程結論：
插入損耗 IL、彎曲損耗、耦合損耗，本質都是能量流「被吃掉」或「走錯路」。
圖 5｜波導能量流：被鎖住 vs 漏出去
鎖在波導： →→→→→ (S 沿導引方向)
彎折/粗糙： →→↗ ↘ (一部分外洩/變熱)
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🧮【數學補強 B｜「平均功率」工程怎麼算？】 在正弦穩態，工程上常用有效值：
- 平面波中（或等效 TEM 區域）：⟨|S|⟩ ≈ E_rms · H_rms
- 也常寫成：⟨|S|⟩ ≈ E_rms² / η 或 ⟨|S|⟩ ≈ η · H_rms²
其中 η 是波阻抗（自由空間約 377 Ω）
✅ 重點不是背式子：
你是在用「場強」直接估功率密度。
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✅ 五、本單元小結
坡印亭向量 S=E×H 是工程上最直接的「功率路徑語言」：方向告訴你能量往哪裡走，大小告訴你每平方米穿過多少功率，而穿過某截面的總功率由 ∬S·dA 結帳，並能與 P=VI 完整對上。用 S 的觀點看，高速 PCB 的回流與地設計是在約束能量流避免外洩，天線方向圖本質是 ⟨S⟩ 的空間分佈，波導/矽光子損耗則是能量流被材料吃掉或漏到輻射模態。把功率從數字變成路徑，你就能用同一套直覺統一效率、EMI、鏈路裕度與可靠度。
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🧪 單元數學練習題
練習 1｜算 |S|（必做）
某區域 E 與 H 垂直，|E|=20 V/m，|H|=0.05 A/m。求 |S|。
✅ 解析：
因為題目已說 E 與 H 垂直，所以叉積大小可直接用
|S| = |E×H| = |E||H|。
代入：|S| = 20 × 0.05 = 1.0 W/m²。
工程直覺：1.0 W/m² 表示「每 1 m² 截面，每秒有 1 J 的能量穿過」。
練習 2｜算穿過截面的功率 P（必做）
若能量流密度平均 |S|=3 W/m² 垂直穿過面積 A=0.2 m²，求穿過功率 P。
✅ 解析：
總功率是把功率密度在截面上做總和：P = ∬ S·dA。 題目給 垂直穿過 且 |S| 取平均，可用近似：P ≈ |S|A。
代入：P = 3 × 0.2 = 0.6 W。 工程直覺：同樣的 |S| 下，A 越大就能「收／送」越多功率。
練習 3｜方向判斷（觀念題）
若 E 指向 +x，H 指向 +y，請問 S 指向哪裡？
✅ 解析：
S 的方向由右手定則決定：S = E×H。 x×y = z，因此 S 指向 +z。 工程直覺：這題在判斷「能量往哪裡傳」，不是判斷電流往哪裡流。
練習 4｜用一句話解釋「回流繞遠 → EMI 變大」（必做）
請用坡印亭向量語言寫一句話。
✅ 解析：
回流繞遠會讓迴路面積變大，使 E/H 分佈被迫外擴，等於讓能量流 S 更容易穿出板邊/縫隙耦合到自由空間而外洩，因此輻射變強、EMI 上升。 工程直覺：EMI 常常是「能量走錯路，跑去當天線」。
練習 5｜波導損耗的坡印亭解讀（應用題）
用一句話說明：為什麼材料吸收會讓插入損耗 IL 上升？（用 S 或能量守恆語言）
✅ 解析：
材料吸收等效增加耗散功率密度 p_loss（能量轉成熱），依坡印亭定理 ∂u/∂t + ∇·S + p_loss = 0，在穩態傳輸下表示沿導引方向的平均能量流 ⟨S⟩ 會逐段被吃掉，所以輸出功率下降、IL 上升。 工程直覺：IL 變大＝能量流沿路被材料吃掉（或漏掉），不是“神祕變弱”。
