— 位移電流不是課本在「補一條公式」，而是把時變世界接回守恆的唯一橋樑：當電容在充電、介質裡電場快速變動時，沒有它電流路徑就會斷、安培定律會自相矛盾。把位移電流補上，電場與磁場才能互相推動，電磁波才有資格誕生。 （VOCUS：IV. 時變電磁場與 Maxwell 方程｜第 27 單元）
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🎯 單元學習目標 完成本單元後，你將能夠：
- 一句話說清楚位移電流：不是電子穿越，而是「時變 D 場在扮演電流」
- 用充電電容悖論說明：沒有位移電流 → 電流連續性斷裂、安培定律出矛盾
- 熟用 Maxwell 修正（積分式）：∮H·dl = I_conduction + d/dt ∬D·dA
- 熟用微分式：∇×H = J + ∂D/∂t，並分清 J 與 J_d
- 用連續方程證明：位移電流是電荷守恆的必要項
- 用「互推鏈」理解：沒有位移電流就沒有電磁波
- 把位移電流翻成工程語言：i=C dV/dt、回流補洞、串擾/EMI/眼圖/BER
🧭 一、先用一句話抓住：位移電流是什麼？
✅ 位移電流不是「電子真的穿過介質或真空」。
✅ 它是「時間變化的電場（更精確是 D 場）在空間中扮演等效電流」，讓磁場能連續繞起來、回路不會斷。
（｜兩種電流：搬運 vs 變動）
傳導電流（搬運電荷）
J = σE
位移電流（電場變動
J_d = ∂D/∂t
一句話：完整的“電流源”= J + J_d
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⚡ 二、沒有位移電流會發生什麼事？（充電電容悖論）
想像你在給電容充電： 電池 → 導線 → 電容板（電荷堆積）
導線段：有傳導電流 I
電容間隙：理想情況下沒有電子穿越介質/真空
如果你只承認「傳導電流」：
間隙段就會變成 I = 0
⚠️ 這會造成兩個矛盾（工程上不允許）：
- 電流連續性斷裂：同一串聯回路不可能一段有 I、下一段突然變 0
- 安培定律算出矛盾磁場：磁場結果會「看你選哪個面」
（同一路徑 C，選面不同 → 算出兩個答案）
S₁：跨導線的面 → 包到 I → 算出有磁場
S₂：鼓起來跨間隙的面 → 包到 0 → 算出無磁場 同一路徑不能兩個答案 → 必須補上位移電流
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🧮 三、Maxwell 修正：把位移電流補上就全通了（積分式）
Maxwell 修正的安培定律:
∮_C H·dl
= I_conduction + d/dt ∬_S D·dA
位移電流定義：
I_d = d/dt ∬_S D·dA
若 D = εE（均勻介質）：
I_d = ε d/dt ∬_S E·dA
✅ 工程直覺：
E 變得越快、面積越大、ε 越大 → 位移電流越大。
（電容電流就是位移電流的工程面孔）
i_C = C dV/dt
⇔ 本質上是在描述 I_d（電場變動電流）
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🧮 四、微分形式：位移電流密度 J_d Maxwell–Ampère（微分式）： ∇×H = J + ∂D/∂t
其中：
• J：傳導電流密度（搬運電荷） • ∂D/∂t：位移電流密度 J_d（電場變動）
✅ 一句話：
傳導電流是“電荷搬運”，位移電流是“電場變動”。兩者一起才完整。
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🧠 五、位移電流的真正意義：它在守護「電荷守恆」 電荷守恆（連續方程）： ∇·J + ∂ρ/∂t = 0
若只用舊版安培定律（∇×H = J），取散度會得到：
∇·(∇×H) = ∇·J 左邊永遠是 0 → 得到 ∇·J = 0 這等於逼迫 ∂ρ/∂t = 0（電荷密度不能變）
⚠️ 但充電電容就是 ρ 在累積 → 必然矛盾。
Maxwell 加上位移電流後：
∇×H = J + ∂D/∂t
取散度：0 = ∇·J + ∂/∂t(∇·D)
用高斯定律 ∇·D = ρ
得到：0 = ∇·J + ∂ρ/∂t
✅ 結論：位移電流是讓守恆律與場方程一致的必要項。
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🌊 六、沒有位移電流，電磁波根本不會存在 法拉第定律： ∇×E = −∂B/∂t （變磁 → 生旋電場）
若沒有位移電流：
電場再怎麼變，也無法產生對應的“旋轉磁場”
有了位移電流：
∇×H = J + ∂D/∂t（變電 → 生旋磁場）
✅ E 與 H 才能互相推動，形成自洽波動傳播。
（電磁波互推鏈）
∂B/∂t ↑ → ∇×E 出現
∂D/∂t ↑ → ∇×H 出現 E 推 H、H 推 E → 波才能走
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🛰️ 七、衛星 × 光通訊：位移電流其實就在你的鏈路裡
案例 A｜相控陣 radome（介質罩） E 快速變化 → D=εE → ∂D/∂t 不小 → 等效電流改寫近場分佈 → 影響匹配、旁瓣、效率、頻段平坦度
案例 B｜光通訊模組封裝：高速邊緣 + 寄生 C
你看到的 i=C dV/dt 本質就是位移電流（∂D/∂t） → 串擾、回流路徑改變、地彈、EMI → 抖動↑、噪聲底↑、link margin ↓、BER ↑
案例 C｜高速互連回流補洞（return path）
參考面不連續 → 回流被迫靠寄生電容耦合跨越 ＝位移電流在“補洞” 補得不好 → EMI/串擾/眼圖惡化
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✅ 八、本單元小結
位移電流之所以必要，是因為時變情況下若只用傳導電流版本的安培定律，充電電容會造成電流連續性斷裂，並使同一路徑因選面不同而算出矛盾磁場；Maxwell 將其修正為 ∮H·dl = I_conduction + d/dt ∬D·dA，使「時間變化的 D 場」扮演等效電流 I_d，從而維持方程自洽並保證電荷守恆。更重要的是，有了 ∂D/∂t，變電場才能產生變磁場，與法拉第定律形成 E、H 互推閉環，電磁波才得以存在。工程上你看到的 i=C dV/dt、寄生電容回流與回流補洞，本質都是位移電流，直接影響串擾、EMI、眼圖與 BER。
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🧪 單元數學練習題
練習 1｜電容充電：位移電流等於傳導電流（必做）
C = 10 nF，dV/dt = 2 V/μs (1) i_C = ? (2) Maxwell 語言中對應什麼？
✅ 解答解析：
(1) i_C = C dV/dt = 10×10⁻⁹ × 2×10⁶ = 20×10⁻³ A = 0.02 A = 20 mA
(2) 對應位移電流 I_d = d/dt ∬D·dA（工程上就是“電場變動電流”）
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練習 2｜位移電流密度峰值（必做） ε = 4ε₀，E(t)=E₀ cos(ωt)，E₀=100 V/m，f=10 MHz 求 |J_d|_peak
✅ 解答解析：
J_d = ∂D/∂t = ε ∂E/∂t |∂E/∂t|_peak = ωE₀ ω = 2πf = 2π×10⁷ ε = 4ε₀ = 3.54×10⁻¹¹ |J_d|_peak = ε ω E₀ = 3.54×10⁻¹¹ × (2π×10⁷) × 100 ≈ 0.222 A/m²
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練習 3｜為什麼安培定律需要修正？（觀念題） 同一條閉合路徑 C，若只用 ∮H·dl = I_conduction，為何在充電電容會矛盾？
✅ 解答解析：
因為不同曲面會包到 I 或包到 0，導致同一路徑算出不同磁場；加入 d/dt ∬D·dA 後兩者一致，矛盾消失。
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練習 4｜寄生 C 回流補洞：估回流電流峰值（必做）
C_p = 0.3 pF，v(t)=V₀ sin(2πft)，V₀=1 V，f=5 GHz 估 I_peak
✅ 解答解析：
I_peak = C (dv/dt)_peak (dv/dt)_peak = 2πfV₀ I_peak = 0.3×10⁻¹² × 2π×5×10⁹ ≈ 0.942 mA
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