— 功率不是「電流把能量推進線裡」；其實能量在電磁學的真正搬運工是場：E 與 H 在空間中編出一條能量流的方向，告訴你功率從哪裡來、往哪裡去、在哪裡變成熱、以及為什麼 EMI 本質上就是「能量走錯路」。
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🎯 單元學習目標 完成本單元後，你將能夠：
- 用一句話說清楚：電磁能量如何儲存、如何流動、如何耗散
- 直覺理解：為什麼「能量不在導線裡」，而是在導線周圍的場裡
- 熟悉三個核心量：能量密度 u、能量流 S（坡印亭向量）、耗散功率 p_loss
- 會用「能量守恆」語言讀懂：場能變化 + 流出功率 + 轉成熱 = 0
- 能把能量流直覺落地到：傳輸線、天線輻射、波導/光波導、衛星鏈路與封裝/PCB EMI
- 會做 3 種基本估算：u_E、u_H、以及單位面積功率流（W/m²）
- 能用題目把「方向、大小、損耗位置」一次判斷出來
🧭 一、先用一句話定義「能量流動」：你在追的是功率的路徑 電磁場中的能量流動，本質上只在回答三個工程問題：
- 🔋 能量存在哪裡？（電場存、磁場存）
- 🌊 能量往哪裡走？（功率穿過哪個面？）
- 🔥 能量在哪裡消失？（變熱/變輻射/被材料吃掉）
✅ 你只要能回答這三句，就能把「電路功率」升級成「場的功率路徑圖」。
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🧩 二、三個核心角色：u、S、p_loss（能量守恆三件套）
(1) 🔋 能量密度 u：能量「躺」在場裡
電場能量密度（常見於電容/介質附近）：
u_E = 1/2 · E·D （線性介質也常寫成 u_E = 1/2 · ε|E|²）
磁場能量密度（常見於電感/磁路附近）：
u_H = 1/2 · B·H （線性介質也常寫成 u_H = 1/2 · μ|H|²）
總能量密度：
u = u_E + u_H
✅ 工程直覺：
- 電容附近：E 強 → u_E 大
- 電感附近：H 強 → u_H 大
- 高速線路附近：兩者都存在，能量在空間“交換形態”
(2) 🌊 坡印亭向量 S：能量「走」的方向與強度
坡印亭向量（Poynting vector）：
S = E × H
它的物理意義是：
✅ S 的方向 = 能量流動方向
✅ |S| 的量級 = 單位面積穿過的功率（W/m²）
圖 1｜E、H、S 的右手定則（能量流方向）
E ↑
│
│ S →
│ ↗
└────→ H
（S = E × H：E 叉 H 的方向，就是能量往哪裡搬）
(3) 🔥 耗散功率密度 p_loss：能量「變熱」的位置
最常見的耗散來源（工程最有感的那種）：
- 導體損耗：p_cond = J · E （例如金屬電阻發熱）
- 介質損耗：等效為 ε(ω) 的虛部、tanδ 造成的吸收（RF/高速/光學都逃不掉）
✅ 工程直覺：你看到溫升、效率掉、眼圖關、鏈路 margin 變小，背後就是能量被吃掉。
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🧮【數學補強 A｜能量守恆的總帳：坡印亭定理（工程版）】
把「場能變化、能量流出、能量耗散」寫成一條守恆式：
∂u/∂t + ∇·S + p_loss = 0
讀法（非常重要）：
- ∂u/∂t：某點附近的場能在變多還變少
- ∇·S：能量是否從這個小區域流出去（或流進來）
- p_loss：能量在這裡被材料吃掉、變成熱
✅ 工程一句話：
「場能變化」+「能量流出」+「轉成熱」＝ 0（能量不會憑空消失）
圖 2｜把一小盒空間當成“能量收支表”
┌──────
│ 小體積 V
│ u 在裡面變化
│ S 從表面流出
│ 損耗變成熱
└─────┘
🧠 三、最重要的直覺：為什麼「能量不住在導線裡」？
你在電路課學：P = VI，功率好像“沿著線”送過去。
但 Maxwell 會告訴你更底層的真相：
✅ 導線只是邊界條件：它迫使 E、H 在周圍空間形成特定分佈
✅ 真正把能量搬走的，是導線周圍的 S = E × H
✅ 能量大多在介質/空氣中走，貼著導線表面一路被導引過去
圖 3｜直流也有能量流：能量沿著導線外部的空間走
(+ ) 導線 (−) 導線
─────────→ I ←──────── ↑ E（由 + 指向 −）
在兩線之間：E 存在
導線周圍：H 繞著電流存在
所以：S = E × H 會沿著線的方向指向負載
（能量在空間走，線在“引導它走”）
✅ 工程翻譯：
- 你做回流路徑、做地、做屏蔽，其實是在幫能量走對路
- EMI 不是玄學，是能量被迫走到不該走的空間路徑上
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🛠️ 四、工程意義地圖：能量流動決定「效率、EMI、鏈路裕度」
1) ⚡ 傳輸線 / 高速 PCB：S 決定能量沿哪裡跑
- 若回流路徑被切斷（地裂縫、跨分割平面）
→ H 的迴路被迫繞遠 → S 的路徑變大、外洩變強 → EMI 上升、串擾上升、眼圖變差
圖 4｜回流被迫繞遠 → 迴路面積變大 → 能量外洩
良好回流（緊貼）
Signal ───────────→ GND ───────────→（回流近、迴路小）
回流被切（繞遠）
Signal ───────────→ GND ────┐ ┌──→（被迫繞路，迴路大） └───┘
✅ 工程一句話：不是“訊號走哪”，是“能量走哪”。
2) 📡 天線輻射：S 直接就是你發射出去的功率流
遠場時，E ⟂ H ⟂ S，且能量往外擴散。
你測到的增益、方向圖，本質上就是不同方向的 S 分佈。
圖 5｜天線把能量往外送（S 往外）
↑ S
↗ | ↖
↗ | ↖
(天線)
✅ 工程一句話：天線設計＝設計空間中能量流的形狀。
3) 🛰️ 衛星鏈路 / 光通訊：鏈路預算 = 能量穿過接收面積的結算
你做鏈路預算，其實在算：
接收孔徑上 ∬ S · dA 能收多少功率。
- 指向誤差 → S 的峰值沒對準孔徑 → 實收功率掉
- 湍流/散射 → S 被打散 → 峰值掉、光斑變大 → 耦合效率掉
- 視窗/鍍膜吸收 → S 在材料內被 p_loss 吃掉 → margin 掉
✅ 工程一句話：鏈路裕度的本質，就是能量流有沒有走到你要的接收面上。
4) 🧠 矽光子 / 波導：導引波其實是把 S 鎖在模態裡
波導不是“裝光的管子”，而是：
用邊界條件把場分佈鎖成模態，讓 S 沿著導引方向前進。
損耗（粗糙散射、材料吸收）本質上是：
S 的一部分被吃掉、或漏到外部輻射模態。
✅ 工程一句話：插入損耗 IL，就是能量流沿路被吃掉的總量。
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✅ 五、本單元小結
電磁能量的儲存與搬運不是抽象概念，而是工程的底層路徑學：能量密度 u 告訴你能量存在哪裡（電場存於介質/電容，磁場存於電感/磁路），坡印亭向量 S=E×H 告訴你能量往哪裡走與每平方米穿過多少功率，而耗散 p_loss 告訴你能量在哪裡被材料吃掉變熱。坡印亭定理用一條守恆式把三者串起來：場能變化 + 能量流出 + 耗散 = 0。對工程而言，回流路徑、屏蔽、天線輻射、波導傳輸、衛星鏈路預算與光學視窗損耗，本質上都是在設計與驗收「能量流是否走對路、是否被吃掉、是否成功穿過接收面」。
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🧪 單元數學練習題
（以下題目以“工程估算”為主：重點是方向、量級與物理意義，不追求複雜推導。）
練習 1｜能量密度 u_E（必做）
某介質中電場大小 |E|=300 V/m，介電常數 ε=2ε₀。求電場能量密度 u_E。
取 ε₀=8.85×10⁻¹² F/m。
✅ 解答解析：
u_E = 1/2 · ε|E|² = 0.5 × (2ε₀) × (300)² = (ε₀) × 90000 = 8.85×10⁻¹² × 9.0×10⁴ = 7.965×10⁻⁷ J/m³ ≈ 8.0×10⁻⁷ J/m³
練習 2｜坡印亭向量的大小（必做）
在某區域內 E 與 H 垂直，|E|=10 V/m，|H|=0.02 A/m。求 |S|。
✅ 解答解析：
|S| = |E×H| = |E||H|（垂直時） = 10 × 0.02 = 0.2 W/m² 意義：每 1 m² 的截面，每秒穿過 0.2 J 的能量。
練習 3｜方向判斷：能量往哪裡走？（觀念題）
若 E 指向 +y，H 指向 +z，請問 S 指向哪個方向？
✅ 解答解析：
S = E × H y × z = x 所以 S 指向 +x。 直覺：能量沿 +x 方向傳播。
練習 4｜回流路徑被切斷，為什麼 EMI 變大？（必做）
用「能量流」語言寫一句話解釋：地平面分割造成回流繞路時，為何 EMI 變大？
✅ 解答解析：
回流繞路使 H 的迴路面積增大，迫使 S 的能量路徑外擴並更容易耦合到自由空間，能量外洩增加，因此輻射與 EMI 上升。
練習 5｜鏈路接收：把能量流“結帳”成接收功率（應用題）
某接收孔徑面積 A=0.01 m²，入射能量流平均 |S|=5 W/m²，且 S 垂直入射孔徑。估算接收功率 P_r。
✅ 解答解析：
P_r = ∬ S·dA ≈ |S|A = 5 × 0.01 = 0.05 W = 50 mW 意義：鏈路預算的底層就是在算這個面積分的“實收”。
