📌 導讀：為什麼光看期望不夠？
上一單元我們講過：
✔ 期望值 告訴你「平均會是多少」
但工程世界常常還要問：
❓ 結果離平均有多遠？
❓ 系統會不會“忽然偏很多”？
❓ 這樣的波動夠不夠可接受？
在這裡，我們需要一個量化「波動程度」的指標：
👉 變異數（Variance）
與其平方根：
👉 標準差（Standard Deviation）
🧠 一、什麼是變異數？
對隨機變數 X：
期望（平均）：
E[X] = ∫ x·f(x)·dx
變異數定義為：
Var(X) = E[(X − E[X])²]
也就是：
👉 每次結果和平均差距的平方的平均
📍 為什麼要平方？
平方有兩大目的：
✔ 使得「偏離」不分正負
✔ 放大大偏離的影響（工程上更敏感）
🧠 二、標準差 σ
標準差是變異數的平方根：
σ = √Var(X)
比起變異數單位變成平方後不易直觀，標準差：
✔ 與原變數單位一致
✔ 更容易解讀「典型波動大小」
🧠 三、變異數的基本性質（工程常用）
🔹 線性性（比例尺度）
若 Y = a·X + b
則：
Var(Y) = a²·Var(X)
🔹 獨立隨機變數加總
若 X 與 Y 獨立：
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)
🧠 四、工程直覺：變異數代表什麼？
📍 1) 穩定 vs 不穩定
若 Var(X) 很小：
👉 X 的值幾乎都靠近平均 ⇒ 系統很穩定
若 Var(X) 很大：
👉 X 的值會大幅上下波動 ⇒ 系統很不穩定
📍 2) 可靠性與一致性
工程實驗常做：
x₁, x₂, …, xₙ
平均值只告訴你中心趨勢，但要知道：
✔ 設計誤差穩不穩？
✔ 每次量測誤差有多散？
✔ 系統需要調整容錯？
就必須看：
👉 變異數 / 標準差
🧠 五、變異數在工程中的典型用途
📌 通訊
接收訊號：
r = s + n
n 是雜訊：
Var(n) = σₙ²
若 σₙ² 越大：
👉 接收品質越差
👉 雜訊波動越大
👉 誤碼率可能提高
📌 控制系統
感測誤差 e：
Var(e) 衡量：
✔ 感測器的精準度
✔ 控制系統對環境干擾的抑制能力
📌 製造品質
產品尺寸 X：
Fit spec 當：
|X − target| ≤ tolerance
如果：
Var(X) 小 ⇒ 生產一致性好
Var(X) 大 ⇒ 很多產品不在允收內
📌 一句話記住
變異數量化「波動程度」，是工程穩定性與可靠度最基礎的度量。
🧮 實務數學題（含解析）
題目
某感測器測量隨機值 X，其分布為：
X ∼ Normal(μ = 50, σ² = 16)
其中 σ² 是變異數，σ 是標準差。
請回答：
(1) X 的標準差是多少？
(2) 求 P(|X − 50| ≤ 4)
(3) 若有兩個獨立感測器讀值 X₁ 與 X₂，其總和 Y = X₁ + X₂，求：
· Var(Y)
· E[Y]
(4) 工程意義解釋上述結果
📌 解析
（1）標準差是多少？
由：
Var(X) = 16
標準差：
σ = √16 = 4
（2）求 P(|X − 50| ≤ 4)
因為：
X ∼ Normal(50, 16)
標準化：
Z = (X − 50) / 4 ∼ Normal(0, 1)
所以：
P(|X − 50| ≤ 4) = P(|Z| ≤ 1)
查標準常態表：
P(|Z| ≤ 1) ≈ 0.6826
（3）兩個獨立感測器總和 Y
若：
X₁, X₂ 獨立且同分布
✔ E[X₁] = 50
✔ E[X₂] = 50
則:
E[Y] = E[X₁ + X₂]
= E[X₁] + E[X₂]
= 50 + 50 = 100
變異數加總（獨立性）：
Var(Y) = Var(X₁) + Var(X₂)
= 16 + 16 = 32
（4）工程意義解釋
📍 標準差 4 的直覺
同一感測器量測多次：
✔ 約 68% 讀值會落在 μ ± σ
→ 50 ± 4
📍 獨立感測器數據加總
總和 Y 的平均是 100
但變異數是 32 -> 標準差：
σ_Y = √32 ≈ 5.66
這告訴我們：
👉 兩個感測器的總合波動比單一感測器更大（√n 效應）
🧠 工程總結
變異數與標準差是工程測量中：
✔ 量化系統不確定性
✔ 評估穩定性的一等參數
✔ 設計容錯與一致性容限
✔ 判斷感測與系統可靠性
📌 關鍵觀念整理
🔹 變異數 Var(X) = E[(X − E[X])²]
🔹 標準差 σ = √Var(X)
🔹 變異數越小 → 系統越穩定
🔹 多個獨立誤差的變異數可以直接相加
