📌 導讀：為什麼期望值這麼重要？
工程世界充滿不確定性：
✔ 雜訊
✔ 元件誤差
✔ 環境變動
✔ 隨機事件
這些隨機因素看起來難以預測時域行為，但有一件事很穩定：
👉 它們的長期平均趨勢可以量化
這就是 期望值（Expectation） 在工程中的價值：
即使每一次結果可能不同，
長期平均結果可以非常準確地被預測。
🧠 一、期望值的定義（Unicode 形式）
📍 離散隨機變數 X
期望值：
E[X] = Σ xᵢ·P(X = xᵢ)
其中：
· xᵢ 是可能的數值
· P(X = xᵢ) 是其機率
📍 連續隨機變數 X
期望值：
E[X] = ∫_{−∞}^{∞} x·f(x)·dx
其中：
· f(x) 是 X 的機率密度函數
· 期望值是加權平均
🧠 二、工程直覺：期望值等於「長期平均」
想像：
🎯 每次測量都有雜訊
✔ 有時偏高
✔ 有時偏低
如果做無數次實驗：
👉 它們的平均值會趨向一個穩定的數字
這個穩定數字就是：
📌 期望值 E[X]
🧠 三、期望值 vs 典型估計
期望值不是：
✘ 單一測量
✘ 中值
✘ 最高或最低值
它是：
✔ 長期平均
✔ 真實值的最佳無偏估計（若誤差中心為 0）
🧠 四、期望值的性質（工程常用）
📍 線性性
對任意隨機變數 X 與 Y：
E[a·X + b·Y] = a·E[X] + b·E[Y]
這一性質在工程推導中極好用。
📍 常數的期望值
若 c 是常數：
E[c] = c
🧠 五、在工程中的實際用途
📌 通訊
對收到的隨機信號 r：
r = s + n
其中：
s 固定
n 是隨機雜訊
期望：
E[r] = s + E[n]
若 E[n]=0：
👉 E[r] = s
代表長期平均能回復真實訊號。
📌 控制系統
對隨機誤差 e：
E[e] → 0
代表：
✔ 系統是無偏的
✔ 控制器沒有系統性偏差
📌 製造工程
產品尺寸 X 可能有變異：
E[X] 告訴工程師：
👉 尺寸中心趨勢是否符合設計規格
📌 一句話記住
期望值 = 不確定情況下的長期平均行為。
🧮 整合型數學題（含解析）
題目
在一通訊系統中，訊號 s 與雜訊 n 組合成接收值：
r = s + n
其中：
✔ s = 20
✔ n ∼ Normal(μ = 2, σ² = 9)
請求：
① E[r]
② Var(r)
③ 若 r 做 N 次獨立觀測，長期平均值的期望是多少？
④ 工程意義解釋
📌 解析
（1）求 E[r]
由線性性：
E[r] = E[s + n]
= E[s] + E[n] = 20 + 2 = 22
（2）求 Var(r)
由獨立性：
Var(r) = Var(s + n)
= Var(s) + Var(n) = 0 + 9 = 9
（3）若做 N 次獨立觀測：r₁, r₂, …, rₙ
長期平均：
R_avg = (r₁ + r₂ + … + rₙ) / N
期望：
E[R_avg] = (E[r₁] + E[r₂] + … + E[rₙ]) / N
由線性性：
E[R_avg] = (22 + 22 + … + 22) / N = 22
（4）工程意義
只要：
✔ 雜訊有平均值
✔ 多次觀測是獨立的
那麼：
📌 取 N 次平均值
→ 它的期望仍然是 22
→ 長期平均能回到原始訊號加雜訊的平均
這在工程上是 訊號去噪平均法 的核心：
多次量測、取平均能減少隨機雜訊的影響。
📌 工程收斂
期望值特性總結
✔ 期望值描述長期平均行為
✔ 期望值具線性特性
✔ 多次觀測的平均值的期望＝個體的期望
✔ 是預測不確定系統表現的基礎
🧠 工程直覺
工程意義上：
📌 期望值告訴你 “長期平均會到哪裡”。
即使每一次結果不一樣：
✔ 有時高
✔ 有時低
✔ 有時偏離很大
但期望值會是：
👉 最合理的長期平均預測
