📌 導讀：工程裡到底會遇到哪些「機率分佈」？
環境中的不確定性，總是以不同的機率分佈現身：
📍 感測雜訊
📍 零件尺寸誤差
📍 可靠度壽命
📍 雜訊頻率漂移
📍 系統觸發事件
不同情境下，常見的機率分佈模型如下：
· 常態分佈
· 均勻分佈
· 指數分佈
· 泊松分佈
· 二項分佈
· 卡方分佈等統計分佈
理解它們的直覺、特性與何時使用，是機率在工程中真正的價值。
🧠 一、常態分佈（Gaussian / 正態）
特性（Unicode 格式）
Z ∼ Normal(μ, σ²)
機率密度函數：
f(z) = (1 / √(2·π·σ²))·e^( − (z − μ)² / (2·σ²) )
工程直覺
✔ 雜訊越多 → 越常用常態
因為很多微小隨機因素的累加根據中心極限定理會趨於常態。
例如：
· 電子熱雜訊
· 感測器量測誤差
· 多通道干擾疊加
常見應用
📌 通訊接收雜訊
n(t) ∼ Normal(0, σ²)
📌 迴授控制感測誤差
e_m ∼ Normal(μ, σ²)
📌 系統估計誤差（Kalman）
xˆ error ∼ Normal
形狀直覺
· 峰值在 μ
· 兩側對稱
· 68–95–99.7 法則
🧠 二、均勻分佈（Uniform）
特性
X ∼ Uniform(a, b)
機率密度：
f(x) = 1 / (b − a) for a ≤ x ≤ b
工程直覺
當沒有任何頻率、位置或參數偏好時：
✔ 每個值都一樣可能
✔ 例如元件允收範圍
✔ 輸入錯配、起始位置
常見應用
📌 元件容差
R ∈ Uniform(9.5 kΩ, 10.5 kΩ)
📌 系統啟動時間（完全不確定）
🧠 三、指數分佈（Exponential）
特性
T ∼ Exponential(λ)
機率密度：
f(t) = λ·e^(−λ·t) for t ≥ 0
工程直覺
當事件發生的時間間隔是：
👉 Memory-less（記憶無關）
如同：
📌 零件失效時間（若老化不顯著）
📌 队列等待時間
📌 電子元件瞬時壽命
工程特性
記憶無關性：
P(T > s + t | T > s) = P(T > t)
🧠 四、泊松分佈（Poisson）
特性
K ∼ Poisson(λ)
機率質量：
P(K = k) = e^(−λ)·λᵏ / k!
工程直覺
描述某段時間內事件發生的次數（隨機但平均 λ）。
常見：
✔ 接收封包數
✔ 系統錯誤事件
✔ 干擾突發次數
何時用？
事件是：
👉 獨立
👉 平均率穩定
👉 發生次數是自然整數
🧠 五、二項分佈（Binomial）
特性
K ∼ Binomial(n, p)
機率質量：
P(K = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)^(n − k)
工程直覺
當你有 n 次實驗（或操作機會），每次成功的機率是 p：
✔ BER（bit error rate）
✔ 訊號判斷 success / failure
✔ QC 檢測合格數
🧠 六、其他常用統計分佈（工程在意）
· 卡方分佈（Chi-square） → 用於變異數估計
· t 分佈 → 小樣本推論
· F 分佈 → 方差比檢定
· 伽瑪分佈（Gamma） → 連續密度、壽命累計效應
· Weibull 分佈 → 可靠度/壽命工程非常重要
📌 工程直覺：何時用哪一種？
🔹 Normal（常態分佈）
- 典型場景：感測雜訊、測量誤差、估計誤差
- 工程意義：大量微小誤差疊加後的結果，對稱、可用平均值與標準差描述
🔹 Uniform（均勻分佈）
- 典型場景：元件容差、隨機初始值
- 工程意義：沒有任何偏好，所有可能值機率相同
🔹 Exponential（指數分佈）
- 典型場景：元件失效時間、等待時間
- 工程意義：具有「無記憶性」，常用於壽命與可靠度分析
🔹 Poisson（泊松分佈）
- 典型場景：單位時間內事件次數（封包到達、錯誤次數）
- 工程意義：描述突發、隨機且獨立的事件發生頻率
🔹 Binomial（二項分佈）
- 典型場景：多次試驗中的成功/失敗次數、位元錯誤
- 工程意義：累積成功機率，用於 BER、成功率評估
📌 一句話記住：
選擇分佈的關鍵，不是背公式，而是先想清楚「你在描述的是誤差大小、事件次數、等待時間，還是成功比例」。
🧮 整合型數學題（含解析）
題目 A：常態雜訊在感測器上
感測器讀值：
x = true + n
雜訊：
n ∼ Normal(0, 4)
(1) 求 x 的分佈
(2) 求 P(|x − true| ≤ 2)
(3) 解釋工程意義
🔍 解答：
(1) x = true + n
👉 所以：
x ∼ Normal(true, 4)
(2) 標準化：
Z = n / 2 ∼ Normal(0, 1)
P(|x − true| ≤ 2)
= P(|n| ≤ 2)
= P(|Z| ≤ 1) ≈ 0.6826
(3) 工程意義：
✔ 約 68.26 % 讀值會落在 ±2 雜訊範圍
✔ 代表感測器實際讀值有 ±2 的誤差機率 ~68%
題目 B：泊松事件在通訊系統
在 1 秒內錯誤封包率平均 λ = 3 次。
(1) 求 P(no errors)
(2) 求 P(≤1 error)
(3) 解釋意義
🔍 解答：
P(K = k) = e^(−λ)·λᵏ / k!
(1) P(no errors)
= e^(−3)·3⁰ / 0!
= e^(−3) ≈ 0.050
(2) P(≤1 error)
= P(K = 0) + P(K = 1)
= e^(−3)·1 + e^(−3)·3
= e^(−3)·(1 + 3)
≈ 0.050·4 = 0.200
(3) 工程意義：
✔ 在 1 秒內沒有錯誤機率 ≈ 5%
✔ 在 1 秒內最多 1 次錯誤 ≈ 20%
這讓工程師可以 估計錯誤負載 並設計緩衝或重傳機制。
📌 工程總結
🎯 常態分佈
→ 雜訊、估計誤差
🎯 均勻分佈
→ 容差、各種等可能範圍
🎯 指數分佈
→ 失效間隔與等待時間
🎯 泊松分佈
→ 事件次數計數
🎯 二項分佈
→ 成功/失敗統計
🧠 工程直覺重點
✔ 分佈告訴你 事件出現的機率模式
✔ 量化風險與概率
✔ 設計系統容錯、裕度與可靠性
✔ 在控制 / 通訊 /製造 /可靠度分析中廣泛應用
