錯誤卻又合理的答案（111高中數學全模選填題）

最近一次加了兩個數學相關的社群，在上面貢獻所長幫忙解題，題目範圍橫跨小學到高中，儘管我已有數年個別班與家教的教學經驗，還是難免會陷入苦戰，就在某天意外遇到這道，過程有點繁瑣，但後續比答案更有意思的題目。

先問問你／你

通常遇到一道不容易的題目，你／妳會怎麼做？！

努力想破頭？跳過？問老師？問同學？上網查資料？翻書？
如果能順利算出答案，那麼不管什麼方法都是好方法～（純猜題例外）
但是努力得到正確答案之後呢？擦掉重新再寫一次？直接下一題？
有沒有一種可能，找出正確答案之後，真正的問題才剛開始？
讓我們一起來認識這道題目

題目

「一個三角形的三邊長為ａ、ｂ、ｃ，其內切圓半徑為ｒ，外接圓半徑為Ｒ，
已知ａ＋ｂ＋ｃ：ａｂｃ＝１：７２，則Ｒ＋ｒ的最小值為ＯＯ。」

(忘了這是111年第幾次模考的考題，youtube上各有說法)

這題需要的觀念和公式如下

需要用到的公式

1. 三角形面積＝（１／２）×ｒ×（ａ＋ｂ＋ｃ）
   （ａ,ｂ,ｃ為邊長、ｒ為內切圓半徑）
2. 三角形面積＝ａｂｃ／４Ｒ
   （Ｒ為外接圓半徑）
3. 若ｘ,ｙ為正數，則（ｘ＋ｙ）／２≧√(ｘｙ)（算幾不等式）
   （當ｘ＝ｙ時，等號成立）

計算

由題意，可假設ａ＋ｂ＋ｃ＝ｘ，ａｂｃ＝７２ｘ，ｘ≠０（比例式）
由公式１→三角形面積＝（１／２）ｒｘ
由公式２→三角形面積＝７２ｘ／４Ｒ
則（１／２）ｒｘ＝７２ｘ／４Ｒ
等號兩邊消去ｘ→（１／２）ｒ＝７２／４Ｒ（確定ｘ≠０可以左右同除ｘ）
等號兩邊同乘４Ｒ→２Ｒｒ＝７２
等號兩邊同除以２→Ｒｒ＝３６
由公式３→（Ｒ＋ｒ）／２≧√３６＝６
等號兩邊同乘２→Ｒ＋ｒ＝１２＃
(盡量把算式寫清楚一點，如果有寫錯，或是有需要修改之處，再請留言提醒❤️)

矛盾點

當時一遇到這題我是有點卡關的，畢竟看到題目問「兩數和的最小值」，依照經驗會聯想到三大不等式（算幾、柯西、三角），經過一段時間思考之後，才想起來三角形面積和Ｒ、ｒ之間的關係，也順利計算出１２這個答案，剛好也符合選填題當中「ＯＯ」兩個空格，但我還是覺得哪裡怪怪的，讓我們回到公式３算幾不等式的最後面：

（當ｘ＝ｙ時，等號成立）

但Ｒ是外接圓半徑、ｒ是內切圓半徑，它們之間還有一個關係式：Ｒ≧２ｒ
也就是外接圓半徑至少是內切圓半徑的２倍（等號成立於正三角形）
既然如此，它們兩個是不可能相等的！
也就是說，這題答案絕不可能是１２
但是，大考中心給的答案確實就是１２，連詳解都如上所述。
好像，這題就這麼到此為止了。
畢竟，這題一次考到了內切圓半徑、外接圓半徑、算幾不等式
能夠把這麼多觀念考在一起，數字又漂亮，已經實屬難得了。
就將其當作一道代數練習也是不錯。

有沒有真正屬於這題的解答？

先說，這種數學問題不適合問Ｃｈａｔｇｐｔ，明明該是邏輯清晰的ＡＩ，看似列出一堆算式，卻超級容易鬼打牆，最後都會給出一堆莫名的結果，還時常推翻前面的敘述，打自己的臉......

咳咳，撇開我求助於ＡＩ的過程不談。
回到這題，我們想找的是Ｒ＋ｒ的最小值。代表我們要試著讓Ｒ小一點
假如我們已明白，在正三角形的情況下，Ｒ有最小值，其值＝２ｒ
將這個結論代到「Ｒｒ＝３６」這個算式當中
→２ｒ^２＝３６→ｒ＝３√２，Ｒ＝３√２×２＝６√２
所以Ｒ＋ｒ的最小值＝３√２＋６√２＝９√２＃
因此９√２才是最適合這題的答案。

嗯......還是哪邊怪怪的嗎？
有沒有一種繞了一圈的奇怪感覺？(如果有，那你和我是知音❤️)

噢，搞了半天，Ｒ＋ｒ最小值成立的時候，這三角形居然是一個正三角形啊？！早說嘛，直接硬算就好啦。

直接當成正三角形再算一次

ａ＋ｂ＋ｃ：ａｂｃ＝１：７２
因為ａ＝ｂ＝ｃ→　　　３ａ：ａ^３＝１：７２
因為ａ≠０，同除以ａ→ ３：ａ^２＝１：７２
內項相乘＝外項相乘→　 ａ^２＝２１６
→ａ＝６√６
後續簡單畫個正三角形，把線連一連，就可以求出內切圓半徑３√２、外接圓半徑６√２了
相加當然也是前面求出來的最小值９√２（大約是12.726，比12大一點點）

但是，話又說回來。
當初考生如果一開始就用正三角形的想法去列式計算，整體過程會簡單很多，可是少了運用公式１與公式２求出ｒ、Ｒ與邊長的關係，而且答案９√２也會與選填題的格數ＯＯ完全不同，至此卡住。
（如果選填題要以９√２作為答案，空格處必須為Ｏ√Ｏ）

結論

先感謝你／妳有耐心看完整篇文章。

或者是你／妳對數學完全不感興趣、對公式通通不了解，看到數學就昏頭，想起數學老師就火大，看到旁邊有個結論可以按就直接跳到這裡，那我幫忙再總結一次：

1. 這是一道１１１年高中數學模擬考題。
2. 按照大考中心的算法，可以算出一個漂亮答案。
3. 答案是錯的，但是考到很多重要的觀念，很值得複習。
4. 如果學生偷吃步，忽略其他條件，直接把題目給的三角形當成正三角形，會得到真正的正確答案，卻無法作答，因為與選填題給的格數不符。

綜上所述，我認為這題當作純粹複習觀念來說，還是一道好題目，值得深思，這也是學數學、算數學當中，比起觀念、公式、答案，更重要的一部分，就是思辨。時刻思考著，為什麼題目要這麼出？為什麼要運用到這個觀念或公式？答案有沒有哪邊有問題？

多思考，是亙久不變的真理。