The Nature of Code閱讀心得與Python實作：3.6 Properties of...

2024/09/06閱讀時間約 3 分鐘

這一節的標題是
3.6 Properties of Oscillation
因為方格子標題字數限制，所以沒完整顯現

這一節談的是振盪(oscillation)，也就是在兩個點之間來回的週期性運動。日常生活中，隨處都可見到振盪的現象。例如，彈奏弦樂器時，弦的振動、盪鞦韆時的來回擺動、音叉的振動、單擺的來回擺動、彈簧的振動等。除了這些眼睛看得到的之外，麥克風、交流電、收音機、手機等許許多多的電子產品，也都是利用振盪的原理來運作的。

要談振盪，就免不了要來看一下正弦函數sin的圖形。

從圖中可以看出來，sin的值會在-1到1之間來回改變。利用sin的這個特性，我們可以寫個程式，讓一個球在螢幕上，從左到右，再從右到左，不斷地來回擺盪。這種不斷來回擺盪的運動方式，叫做簡諧運動(simple harmonic motion, SHM)。這個程式很容易寫，不過在開始寫之前，要先熟悉一下振盪的相關術語。

一個進行簡諧運動的物體，它的位置會是時間的函數，而且可以用下列兩個性質來描述：

振幅(amplitude)：從運動中心點到端點的距離。
週期(period)：一個完整運動循環所需的時間。

當我們知道簡諧運動的振幅和週期之後，就可以造出能描述該簡諧運動的函數。有了能描述簡諧運動的函數之後，要寫程式來模擬它，就是水到渠成的事了。

根據上述振幅和週期的定義，可以很容易就從sin的圖形看出來，它的振幅是1，週期是2π。

知道振幅和週期所代表的意義之後，接下來就要來看看，那個讓一個球在螢幕上左右來回擺盪的程式要怎麼寫。

要想寫出讓一個球在螢幕上左右來回擺盪的程式，第一件要做的事，是要先確定：那個球擺盪的幅度有多大？速度又有多快？這兩個問題，其實也就是在問：振幅有多大？週期是多少？既然那個球是模擬世界中的球，要回答這兩個問題，就必須要知道，在模擬世界中，是怎麼衡量振幅和週期的。

既然振幅指的是距離，而週期指的是時間，那一直以來，我們用來衡量模擬世界中的距離和時間的方法，也就順理成章可以直接套用。這也就是說，我們會用像素和幀，當成衡量振幅和週期的單位。所以，如果有個振盪運動，中心點到端點的距離是100個像素，而且每隔120幀就會重複一次，那它的振幅就是100個像素，而週期則是120幀。

現在假設我們要讓那顆球以振幅A，週期T的方式擺盪，這時如果有個函數具有相同的振幅和週期，那我們不就可以利用它來計算，在不同的時間點球的位置了嗎？很幸運的，我們可以很容易的就用正弦函數sin，造出這樣子的函數來。

假設有個正弦函數長這樣

sin(ωt)

那它的週期會是

2π / ω

這個其實也不難理解，把sin(ωt)稍微換個樣子就可以看出來了。令t'=ωt，則sin(ωt)=sint'。因為sint'的週期是2π，而這是以t'來衡量的，也就是畫圖時，橫軸是t'。所以把橫軸由t'=ωt還原成t，也就是改回用t來衡量時，週期會是2π/ω。

利用sin的這個特性，可以很容易就造出週期是T的sin函數。因為

2π / ω = T

所以

ω = 2π / T

也就是說

sin(2πt / T)

就是我們要的，週期為T的sin函數。

至於在振幅部分，因為sin函數的振幅是1，所以

A sin(2πt / T)

的振幅就會是A。

利用這個造出來的sin函數，那顆以振幅A週期T的方式擺盪的球的位置，就可以寫成下列程式

amplitude = A
period = T
x = amplitude*math.sin(2*math.pi*frame_count/period)

這裡的frame_count指的是已經執行的幀的數量。

下面是完整的程式。

Example 3.5: Simple Harmonic Motion I

# python version 3.10.9
import math
import sys

import pygame  # version 2.3.0

pygame.init()

pygame.display.set_caption("Example 3.5: Simple Harmonic Motion I")

BLACK = (0, 0, 0)
WHITE = (255, 255, 255)

WIDTH, HEIGHT = screen_size = (640, 360)
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)
screen_center = (WIDTH//2, HEIGHT//2)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

amplitude = 150
period = 120

frame_count = 0

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
            
    screen.fill(WHITE)    

    # 球的位置
    x = amplitude*math.sin(2*math.pi*frame_count/period)
    position = (x+WIDTH//2, HEIGHT//2)
    
    pygame.draw.circle(screen, BLACK, position, 20)
    pygame.draw.line(screen, BLACK, position, screen_center, 3)
    
    frame_count += 1
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

振盪的術語，除了振幅和週期這兩個之外，還有一個是頻率(frequency)。頻率指的是，單位時間內循環的次數，所以頻率會等於週期的倒數。例如，週期是120幀，那麼在1幀的時間內，會完成1/120個循環，所以頻率是1/120。從這裡可以看出來，週期和頻率，其實是一體兩面，都可以用來描述振盪的速度。那到底要用哪個比較好呢？其實青菜蘿蔔各有所好，覺得哪個好用，就用哪個囉！

Exercise 3.7

# python version 3.10.9
import math
import sys

import pygame  # version 2.3.0

pygame.init()

pygame.display.set_caption("Exercise 3.7")

BLACK = (0, 0, 0)
WHITE = (255, 255, 255)

WIDTH, HEIGHT = screen_size = (640, 360)
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

amplitude = 100
period = 120

frame_count = 0

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
            
    screen.fill(WHITE)    

    # 球的位置
    y = amplitude*math.sin(2*math.pi*frame_count/period)
    position = (WIDTH//2, y+HEIGHT//2)
    
    pygame.draw.circle(screen, BLACK, position, 20)
    pygame.draw.line(screen, BLACK, position, (WIDTH//2, 0), 3)
    
    frame_count += 1
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)