生日悖論(Birthday paradox)

其實只要房間裡有23個人，則兩個人的生日相同的機率就高達50%!

而只要房間裡有60個人，兩人有相同生日日期的機率便會大於99%!

Julia程式碼

# 匯入套件StatsBase、Combinatorics、Plots以及PyPlot
using StatsBase, Combinatorics, Plots ; pyplot()
# 自定義一個函數(function)用來計算理論解
# 給定不同n(人數)的情況下，有兩人生日相同的機率
# 使用prod()這個函數，計算括弧內所有值的乘積(從365/365*364/365*…*1/365)即為
# 每人生日皆不同之機率，再用1去減
matchExists(n) = 1 — prod([k/365 for k in 365:-1:365-n+1])
# 自定義一個函數模擬房內有不同人數的情形，且定義方法與matchExists()有些差別。
# 首先，利用rand()隨機(uniform dist.)從1~365產出n個值，代表每個人的生日日期。
# 接著使用counts計算每個數字出現的次數並指派給dayCounts，
# 再來，用maximum()檢查dayCounts裡最大值是否大於1次，即是否有兩人生日相同
# 若是，回傳ture，反之則回傳false
function bdEvent(n)
 birthdays = rand(1:365,n)
 dayCounts = counts(birthdays, 1:365)
 return maximum(dayCounts) > 1
end
# 模擬重複試驗N次，並計算N次中有兩人生日相同的次數，再除以N，得到機率。
probEst(n) = sum([bdEvent(n) for _ in 1:N])/N
# 使用自定義之函數，計算理論上房內有1~60人時兩人有相同生日的機率
xGrid = 1:60
analyticSolution = [matchExists(n) for n in xGrid]
# 使用蒙地卡羅模擬法估計在房內有不同人之情況下，房內有1~60人時兩人有相同生日的機率
N = 10³
mcEstimates = [probEst(n) for n in xGrid]
# 將理論結果與蒙地卡羅模擬法估計出的結果繪製出來比較。
plot(xGrid, analyticSolution, c=:blue, label=”Analytic solution”)
scatter!(xGrid, mcEstimates, c=:red, ms=6, msw=0, shape=:xcross,
 label=”MC estimate”, xlims=(0,60), ylims=(0, 1),
 xlabel=”Number of people in room”,
 ylabel=”Probability of birthday match”,
 legend=:topleft)