運彩123＿抽水＿沒有白吃的午餐

先從簡單的開始，在丟硬幣遊戲中，每次拋出的結果，各有一半的機率出現正面或者背面，也就是 0.5，若將 0.5 取倒數，1/0.5 = 2 ，這數值代表賠率為 2。

換句話說，賠率與機率，有互為倒數的關係 (兩者相乘等於 1) 。

假設下注正面100元 賠率2 ，同時也下注背面 100元，賠率也是 2，若結果開出正面，那正面下注獲利100x(2-1)=100 元，但背面下注沒中，會損失100元，因此打平。同理若開出背面，也會是打平，也就是說，在這場賭局中，就莊家和玩家來說，都是沒輸沒贏。

然而，就莊家的立場來說，應該無法接受，在開盤之後，卻沒撈到一點油水。
這時候，就需要介紹一個名詞，「抽水」，它代表著莊家在博弈設計中，一定會賺回來的利潤，接下來我們來推導一下。

上圖是之前提過的幾場籃球比賽，以第一場為例：晶原LG獵鷹 @ 首爾SK騎士

獵鷹的賠率2.15，倒數為機率 46.51%，騎士賠率1.45，倒數為機率 68.97%。就數字來看，騎士隊獲勝的機率大於獵鷹隊。

接著，將兩個獲勝機率值相加 46.51% + 68.97% = 115.48 % > 100%。
很奇怪的是，獲勝機率竟然大於 100%，歸根究底，就是有人為的操作。

再來，將這個相加的機率值求倒數，1/115.48 % = 86.6 %。
此值稱為「返還率」，可以想成總賠率，我想對腦袋正常的莊家來說，此值一定是要小於一的。 而抽水就是 1-返還率，它表示在這場賭局中，莊家可以拿到的油水。

聰明如你，此時可能會很多問號，例如獵鷹的賠率為 2.15，此值大於2，如果所有的玩家都下注獵鷹，並且結果獵鷹隊獲勝，那麼莊家必須拿出2.15倍的下注金來返回，那還是虧啊！

沒錯，此公式只能說以大量、平均的投注條件來看，不能單以極端狀況來衡量，之後會有一篇說明「莊家必勝公式」，會更深入探討這一部分，這裡先了解抽水的計算。

假設為A、B兩隊的比賽，而結果只有A或者B勝出，沒有和局。
我們將 A 隊賠率記為 Ap，B 隊賠率記為 Bp。
如上所述，兩隊的勝率各為 1/Ap 、 1/Bp，總勝率和為 1/Ap + 1/Bp。
而勝率和之倒數 1/ (1/Ap + 1/Bp) 為返還率。

因此，
抽水 = 1-返還率 = 1 - 1/ (1/Ap + 1/Bp)
= ((Ap + Bp) – (Ap x Bp)) / (Ap + Bp)

這裡出現一個重要的關係式，因為抽水要為正值(莊家要有賺頭！），而式子中的分母已經是正值（賠率相加），
所以分子必須大於零，也就是 (Ap + Bp) – (Ap x Bp) > 0

總之，要符合抽水(對莊家有利) 的條件為：
(Ap + Bp) > (Ap x Bp)

反之，對玩家有利的條件為：
(Ap + Bp) < (Ap x Bp)

以實際的例子來驗算，在路邊丟硬幣中，出現過的賠率：
首先，出正面賠率 2 、背面賠率也是 2，帶入公式中，
(2 + 2) = (2 x 2) 也就是抽水為 0，無人獲利。

再來，修改賠率後，出正面 2.5、背面1.8，帶入公式中，
2.5 + 1.8 < 2.5 x 1.8，抽水值為負，對莊家不利，玩家有利。

知道賠率關係後，接下來考慮，要下達多少量的下注金？
以同樣的假設，A 隊賠率 Ap，B 隊賠率 Bp。
假設對 A下注 1單位，B下注 X單位，兩者有 X 倍關係。

回到上一篇所見的表格，可表示如下：

可得知，
若A win，可獲利 (Ap-1)-X，若B win，可得 X(Bp-1)-1
若想不論開出的結果為何，都可得到相等的獲利。

因此，(Ap-1)-X = X(Bp-1)-1，經化簡為 X=Ap/Bp

回到故事中，當調整後的賠率為，正面 2.5、背面 1.8，
2.5 + 1.8 < 2.5 x 1.8，前面提及，此對玩家有利。
若玩家要達到不論結果為何，都是贏的狀況。
先求出 X= Ap/Bp = 2.5/1.8 = 1.3889

因此，若正面下注金 100元，而背面下注金
1.3889x100 = 138.90 (取整數140) 。
這就是，對玩家有利的下注組合。

好啦，
看到這裡，你是不是認為，原來運彩有可能一定贏！
等等！
現實是殘酷的，很抱歉，那樣的賠率組合並非常態！

我們可以檢視以下的幾場比賽的賠率：

晶原LG獵鷹 @ 首爾SK騎士
2.15+1.45= 3.6 > 2.15 * 1.45 = 3.1175
莊家抽水 13.4%

哥廷根 @ 羅斯托克海狼
1.55+1.95=3.5 >1.55*1.95=3.0225
抽水 13.64%

EWE歐登堡 @ 符茲堡奧利佛
1.6+1.9=3.5 > 1.6*1.9=3.04
抽水 13.14%

其他場比賽也是大同小異，都是對莊家有利，
台灣運彩列出的籃球比賽，每場的莊家抽水大致在 13%左右。

13% 的抽水高不高？
簡單的說明是，如果你在博弈中，始終沒有大贏或者大輸而提前結束，並且只是維持著小輸小贏之類的結果，那麼很抱歉，你的所有資金(100%)，有可能在 7~8 次的下注之後，因為每次被抽水13%，而結局是，雙手空空。
(13% x7 = 91%, 13% x 8 = 104%)