排列組合與機率計算(五)

排列組合與機率計算(五)

關卡：帽子精靈的早晨混亂

劇情：五頂魔法帽被小精靈亂丟，現在帽子們亂跑到不同的櫃子裡了。請問——要計算五頂不同的魔法帽放入五個不同的櫃子（每個櫃子恰放一頂）的排列方式。

首先，排列數的基本概念是，當有n個不同的物品要放到n個不同的位置，每個位置恰好一個物品的話，排列數就是n的階乘，也就是n!。

這裡n是5，所以答案應該是5!，也就是5×4×3×2×1=120。

不過我要確認用戶是否有其他的條件或者限制，比如有沒有帽子或者櫃子是否有區別。

題目裡提到的是五頂不同的帽子，還是五頂相同的帽子？

題目裡說“五頂魔法帽被小精靈亂丟”，雖然沒有明確說明帽子是否不同，但通常這種排列問題默認物品是不同的，除非特別說明。如果帽子是不同的，那麼每個排列都是不同的，所以是5!種方式。

如果帽子是相同的，那就是另一種情況，不過這裡應該不是這種情況，因為題目問的是排列方式，而排列通常考慮順序。

另外，櫃子是否不同呢？題目裡說“不同的櫃子裡”，所以每個櫃子都是不同的位置，因此每個帽子放進不同的櫃子，每個排列都是不同的組合。

因此正確的計算方式應該是5的階乘，即5×4×3×2×1=120。

關卡：南瓜馬車亂配對

🌟童話情境

你有7匹馬和4輛車，要選3匹馬搭配1車送王子去參加舞會。問：有多少種不重複組合？

🎯

首先，考慮選馬的部分。因為題目裡說要選3匹馬，而總共有7匹馬，那麼選馬的組合數應該是從7匹中選出3匹的組合數。

組合數的公式是C(n, k) = n! / (k!(n - k)!))。

所以這裡應該是C(7, 3)。7乘6乘5除以3乘2乘1，那應該是35種選法。

接下來是選車的部分，總共有4輛車，要選1輛出來。

那選車的方式就是C(4, 1)，也就是4種選擇方法。

那現在，馬和車的選擇是各自獨立的，

所以總的組合數應該是兩者的乘積，也就是35乘以4，35乘4等於140，所以總共有140種不重複的組合方式。

不過，等一下，我是不是哪裡弄錯了？

比如說，題目有沒有什麼特殊的條件，比如某些馬不能和某些車搭配？

不過題目裡沒有提到這樣的限制，所以應該不用考慮。

也就是說，任何3匹馬都可以和任何一輛車搭配，所以的確是組合數的乘積。

再檢查一下，選馬的組合數是否正確。

C(7,3)的確是7×6×5/(3×2×1)=35。選車是C(4,1)=4，沒錯。

然後35×4=140，這個結果應該是對的。

不過，有時候可能會有同學犯錯的地方是分不清排列和組合。

比如說，選馬的時候是否需要考慮順序？

但題目裡說是不重複的組合，所以應該是組合不考慮順序的。

所以C(7,3)是對的。而車的話，選一輛當然也不涉及順序，所以直接4種選擇沒問題。

所以結論應該是140種組合方式。

關卡 ：妖精黑市的抽獎詐欺

劇情：抽獎箱有 10 張券，3 張有獎。小巫喵抽 2 張，但妖精說「不放回」！

任務：計算「至少中 1 獎」的機率？

✨ 提示：用1−(C(7,2)/C(10,2))，小心妖精的奸笑！

首先，我需要確定這個問題正確的解決方式。

題目是說至少中1獎的機率，也就是抽到1張或者2張有獎券的機率。

一般來說，這樣的問題可以用兩種方法解決：

一種是直接計算抽到1張的機率加上抽到2張的機率，

另一種是用1減去都不中獎的機率。

首先，先確認組合數的計算是否正確。C(n,k)代表從n個元素中取出k個的組合數，公式是C(n,k) = n! / [k!(n - k)!]。

題目中的總共有10張券，其中3張有獎，7張沒獎。

小巫喵抽2張，不放回，所以是組合問題，不考慮順序。

按照提示，先計算都不中獎的機率，即兩次都抽到沒獎的券。

抽到第一張沒獎的機率是7/10，然後不放回，剩下6張沒獎的，9張總券，所以第二張的機率是6/9=2/3。

所以都不中獎的機率應該是7/10 * 6/9 = (7*6)/(10*9) = 42/90 = 7/15。

這時候，用1減去這個機率就是至少中1獎的機率，即1 - 7/15 = 8/15。

用組合數來計算，也就是C(7,2)/C(10,2)。

C(7,2)是從7張沒獎的券中抽2張的組合數，C(10,2)是總共有多少種可能的抽法。計算一下這兩個值：

C(7,2) = 7!/(2!5!) = (7*6)/2 = 21

C(10,2) = 10!/(2!8!) = (10*9)/2 = 45

所以C(7,2)/C(10,2) = 21/45 = 7/15，也就是上面計算的不中獎的機率，

因此1 - 7/15 = 8/15，大約0.5333，即53.33%的機率。

再考慮另一種方法，直接計算至少中1獎的機率。

也就是說，抽到1張有獎或者2張都有獎的機率之和。

有獎券和沒獎券的選擇是獨立事件，所以組合數需要相乘。

例如，選1張有獎券和1張無獎券，這兩個選擇是獨立的，所以用乘法。而如果只是選1張有獎或1張無獎，則是加法。

這裡C(3,1)是從3張有獎中選1張，C(7,1)是從7張沒獎中選1張，

總共的組合數是C(10,2)=45。

要從 3 張有獎券中選 1 張（記為 C(3,1)=3），

同時從 7 張無獎券中選 1 張（記為 C(7,1)=7）。

這兩步是獨立的，因此需將組合數相乘。

計算的話，C(3,1)=3，C(7,1)=7，所以分子是3*7=21，這部分機率是21/45=7/15。

抽到2張有獎的機率：C(3,2)/C(10,2)。C(3,2)=3，所以機率是3/45=1/15。

所以至少中1獎的機率就是7/15 + 1/15 = 8/15，和之前的計算結果一致，所以沒問題。

關鍵思路：分步計算「1張有獎」和「2張有獎」的機率

第一步：明確「恰好1張有獎」的含義

    抽2張券，要求 其中1張有獎，另1張無獎。

    這需要 同時滿足兩個條件：選1張有獎券 + 選1張無獎券。

第二步：為什麼需要從7張無獎券中選1張？

    問題結構：

    你抽的是 2張券，而題目要求 恰好1張有獎。

        因此，另一張 必須是無獎券！

        如果你不選無獎券，就無法滿足“恰好1張有獎”的條件。

    具體操作：

        先選1張有獎券 → 有3種選擇（C(3,1)=3）。

        必須再選1張無獎券 → 有7種選擇（C(7,1)=7）。

        總共有 3×7=21 種組合。

第三步：用實際例子理解

假設有獎券是 A,B,C，無獎券是 1,2,3,4,5,6,7。

    所有可能的組合：

        A 配 1,2,3,4,5,6,7 → 7種

        B 配 1,2,3,4,5,6,7 → 7種

        C 配 1,2,3,4,5,6,7 → 7種

    總共有 3×7=21 種組合，對應 C(3,1)×C(7,1)。

第四步：為什麼不是只用有獎券計算？

    如果只算有獎券（C(3,1)=3），代表 只抽了1張券（但題目是抽2張券！）。

    必須同時考慮第二張券，而第二張券必須是無獎券。

第五步：總結關鍵邏輯

    「恰好1張有獎」= 1有獎 + 1無獎 → 需同時計算兩者的組合數。

    組合數相乘：因為每一步選擇都是獨立的（選有獎不影響選無獎的選項）。

    最終公式：C(3,1)×C(7,1)=3×7=21。

所以：

1. 計算「恰好1張有獎」的機率

    步驟1：從3張有獎券中選1張，組合數為 C(3,1)=3。

    步驟2：從7張無獎券中選1張，組合數為 C(7,1)=7。

    總組合數：3×7=21 種（乘法原理）。

    機率：21/45=7/15。

2. 計算「2張均有獎」的機率

    組合數：從3張有獎券中選2張，即 C(3,2)=3。

    機率：3/45=1/15。

3. 總機率 = 兩種情況的機率之和

至少中1獎=7/15+1/15=8/15

再檢查一下組合數是否正確：

C(7,2)確實是21，C(10,2)確實是45，所以21/45=7/15，沒錯。所以1-7/15=8/15，即約為53.33%。

看起來沒有問題，所以最終的答案應該是8/15。

不過為了確認，再試一種方法：

用超幾何分佈來計算。

超幾何分佈的機率公式是P(X=k) = [C(K, k) * C(N-K, n-k)] / C(N, n)，其中N是總數，K是成功數，n是抽取的數量，k是成功次數。

這裡N=10，K=3，n=2，求至少1次成功，即k=1或k=2。

計算k=1時的機率：C(3,1)*C(7,1)/C(10,2) =3*7/45=21/45=7/15。

k=2時的機率：C(3,2)*C(7,0)/C(10,2)=3*1/45=3/45=1/15。

所以總機率是7/15+1/15=8/15，和之前一致。

所以看起來無論是用補集的方法還是直接計算，結果都是8/15。

關卡 ：魔法網紅的按讚詛咒

劇情：小巫喵發咒語影片，每 100 次瀏覽有 5 次按讚，求「10 次瀏覽中 ≥1 讚」的機率？

✨ 提示：用二項分佈 1−(0.95)^10，別被酸民咒語影響！

吐槽：「按讚機率比召喚惡魔還低！」

首先，題目裡提到的每100次流覽有5次按贊，所以單次流覽被點贊的機率應該是5/100，也就是0.05，對吧。

這個機率應該是對的，因為每個流覽事件是獨立的，或者說可以近似為獨立事件，假設流覽的人之間沒有互相影響之類的。

接下來，問題是要計算在10次流覽中至少有一個贊的機率。

這時候應該用二項分佈來計算，因為每一次流覽都是結果只有兩種可能：

被點贊（成功）或者不被點贊（失敗）。

而我們需要的是在n=10次獨立試驗中，成功次數k≥1的機率。

根據二項分佈的機率函數，計算至少一個贊的機率，其實就是1減去完全沒有贊的機率。

因為“至少一個”的對立事件是“0個贊”，所以可以用補集的思想來簡化計算，

也就是1 - P(k=0)。

這樣的話，計算起來會比較方便，不需要把k=1到k=10的機率全部加起來，直接算1減去k=0的機率就可以了。

那麼，k=0的情況就是10次流覽中每次都沒有被點贊。

每一次不被點贊的機率是1 - 0.05 = 0.95，所以10次都不被點贊的機率就是0.95的10次方，也就是0.95^10。

然後，這個值的補集就是至少有一次點贊的機率，也就是1 - 0.95^10。

不過，這裡我需要確認一下是否真的適用二項分佈的條件。

二項分佈需要滿足每次試驗獨立，且機率相同。

題目裡是否隱含這樣的條件呢？

比如說，每個流覽的人是否獨立地決定是否點贊，並且每個人的點贊機率都是5%？

題目裡並沒有說明有依賴關係，所以可以假設滿足獨立性和同機率的條件，所以用二項分佈應該是合適的。

再考慮一下可能的誤區，比如會不會有人認為應該用泊松分佈或者其他分佈？

不過這裡試驗次數n=10是確定的，而且每次的成功機率p=0.05也是已知的，所以二項分佈應該是正確的選擇。

另外，當n比較大而p比較小時，泊松分佈可以近似，但這裡n=10不算很大，直接計算更準確。

現在計算具體的數值結果，先算0.95的10次方是多少。可以用計算器來算，或者用對數的方法。比如：

0.95^10 = e^(10 * ln(0.95)) ≈ e^(10 * (-0.051293)) ≈ e^(-0.51293) ≈ 0.5987

所以1 - 0.5987 ≈ 0.4013，也就是大約40.13%的機率。

不過可能需要更精確的計算，比如用計算器計算：

0.95^10：

0.95^1 = 0.95

0.95^2 = 0.9025

0.95^3 = 0.857375

0.95^4 ≈ 0.81450625

0.95^5 ≈ 0.7737809375

0.95^6 ≈ 0.7350918906

0.95^7 ≈ 0.6983372961

0.95^8 ≈ 0.6634204313

0.95^9 ≈ 0.6302494097

0.95^10 ≈ 0.5987369392

所以精確到小數點後四位的話是0.5987，所以1 - 0.5987 ≈ 0.4013，也就是40.13%左右。

不過題目可能只需要運算式，也就是1 - (0.95)^10，而不用具體數值，不過可能也需要給出數值結果。

根據提示，給出的答案應該是用這個運算式，所以可能不需要更詳細的步驟，但為了確保正確，我需要再檢查一遍。

有沒有可能哪裡出錯了？

比如，是否題目中的流覽次數是按不同的用戶，或者有沒有可能每次流覽的點贊不是獨立事件？

比如，如果同一個用戶多次流覽，可能會影響結果，但題目裡說的應該是每次流覽都是獨立的，所以沒問題。

另外，題目裡說“每100次流覽有5次按贊”，這是否意味著機率確實是5/100=0.05？

是的，因為5次成功事件發生在100次試驗中，所以單次機率估計為5/100=0.05，這個是對的。

總結一下，計算過程是對的，至少有一個贊的機率是1 - (0.95)^10 ≈ 40.13%。

所以答案應該是這個數值，或者以分數形式表達，不過可能題目需要四捨五入到小數點後兩位，或者保留四位小數，具體要看要求。

不過題目裡沒有說明，所以可能直接寫成分數運算式或者近似值就可以了。

另外，也可以考慮用二項分佈的機率公式直接計算

P(k≥1) = Σ從k=1到10的C(10,k)*(0.05)^k*(0.95)^(10−k)，

但顯然這樣計算起來麻煩，而且結果應該和1 - (0.95)^10一樣，所以用補集的方法更高效。

所以最終的答案應該是1 - (0.95)^10，大約等於0.4013，或者40.13%。

根據二項分佈的性質，「10次瀏覽中至少1次按讚」的機率可透過以下步驟計算：

單次按讚機率：每100次瀏覽有5次按讚，故單次按讚機率為 p=0.05，不按讚機率為 1−p=0.95。

    計算無按讚的機率：

    10次瀏覽中完全沒有按讚的機率為 (0.95)^10。

    求補集：

    至少1次按讚的機率為 1−(0.95)^10。

    數值計算：

    (0.95)^10≈0.5987，因此所求機率為 1−0.5987≈0.4013，即約 40.13%。

答案：

\boxed{1 - (0.95)^{10} \approx 40.13%}

關卡 ：最終試煉！時空魔王的條件機率

劇情：魔王冷笑：「已知傳送門 60% 是晴天，晴天王國 80% 有寶藏，雨天王國 30% 有寶藏，求『遇到雨天卻有寶藏』的機率？」

任務：用貝氏定理破解！

✨ 提示：P(雨天∩寶藏)=0.4×0.3=0.12。

吐槽：「魔王的心機比多元宇宙還複雜！」

題目是說，已知傳送門有60%是晴天，晴天王國80%有寶藏，雨天王國有30%有寶蔵，求遇到雨天卻又有寶藏的機率。

然後提示用貝氏定理，還給了P(雨天∩寶藏)=0.4×0.3=0.12。

不過雖然提示直接給了一個答案，但我還是要仔細思考一下，確認這個答案是否正確，以及背後的邏輯是什麼。

首先，我需要明確題目中的各個概率代表什麼。

題目裡提到傳送門有60%是晴天，那也就是說傳送門對應的天氣有兩種可能，晴天和雨天，對吧？

因為傳送門要麼是晴天，要麼是雨天，所以晴天的概率是60%，也就是0.6，那麼雨天的概率自然就是1 - 0.6 = 0.4，也就是40%對嗎？

所以首先，P(晴天)=0.6，P(雨天)=0.4。

接下來，題目還提到，晴天王國有80%的概率有寶藏，雨天王國則有30%的概率有寶藏。

這裡的“有寶藏”應該是在對應天氣條件下發生的概率，也就是條件概率。

也就是說，P(寶藏|晴天)=0.8，而P(寶藏|雨天)=0.3。對嗎？

題目要求求的是“遇到雨天卻又有寶藏的機率”，也就是在雨天的情況下同時有寶藏的概率。

這裡可能需要明確，題目要的是P(雨天∩寶藏)，也就是兩者同時發生的概率，還是說P(寶藏|雨天)，也就是在雨天的條件下有寶藏的概率？

不過根據提示給出的P(雨天∩寶藏)=0.4×0.3=0.12，看起來這裡的答案確實是兩者的聯合概率，也就是P(雨天且寶藏)。

不過題目中的描述可能有點容易混淆，因為問題本身問的是“遇到雨天卻又有寶藏”，這其實應該就是兩者同時發生的概率，也就是聯合概率，而不是條件概率。

而根據題目給出的資訊，確實可以用乘法規則直接計算，也就是P(雨天)乘以P(寶藏|雨天)，即0.4×0.3=0.12，對嗎？

不過題目提示說要使用貝氏定理來破解，所以我可能需要用貝葉斯定理來驗證這個結果是否正確，或者看看是否需要用貝葉斯定理來解決這個問題。

不過通常貝葉斯定理是用來計算條件概率的，比如已知某結果發生的情況下，求某個原因的概率，也就是逆條件概率。

例如，已知有寶藏，求是在雨天的概率，這時候可能需要用到貝葉斯定理。

但題目這裡的情況是求聯合概率，所以可能並不需要貝葉斯定理，而是直接應用乘法規則。

不過可能題目想讓我們用貝葉斯定理來確認這個結果是否正確，或者通過不同的方式來推導。

讓我再仔細分析一下。貝葉斯定理的公式是：

P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / P(B)

但在這裡，如果我們要求的是P(雨天 ∩ 寶藏)，也就是P(寶藏 ∩ 雨天)，根據乘法規則，這等於P(雨天) × P(寶藏|雨天)，也就是0.4×0.3=0.12，這和題目中的提示一致。

所以這個過程其實不需要用到貝葉斯定理，而是直接應用乘法規則。不過可能題目中的“貝氏定理”是更廣義的應用，或者作者希望學生通過貝葉斯定理來理解這個聯合概率的計算方式。

不過為了確保正確，讓我再檢查一遍。

首先，傳送門有60%的概率是晴天，所以雨天是40%。在晴天的情況下，有寶藏的概率是80%，在雨天的情況下是30%。

所以，當傳送門是晴天時，有寶藏的聯合概率是0.6×0.8=0.48，也就是48%。

而雨天有寶藏的聯合概率是0.4×0.3=0.12，即12%。

這樣的話，總的出現寶藏的概率是0.48+0.12=0.60，也就是60%。

這個時候，如果有寶藏，那麼其中來自雨天的概率是0.12/0.60=0.2，也就是20%。這時候用到了貝葉斯定理，計算的是P(雨天|寶藏)=0.12/0.60=0.2。

但這可能不是題目所求的問題，所以這裡可能題目確實只需要聯合概率，而答案就是0.12。

不過題目中提到用貝氏定理來破解，所以可能作者希望學生使用貝葉斯定理來解答，而不僅僅是應用乘法規則。

因此可能需要將問題轉化為貝葉斯定理的形式。

不過，貝葉斯定理通常用於已知某個結果的情況下，求某個原因的概率。

例如，已知有寶藏，求是雨天的概率，這時候應用貝葉斯定理：

P(雨天|寶藏) = [P(寶藏|雨天) × P(雨天)] / P(寶藏)

而這裡的P(寶藏)可以通過全概率公式計算，即：

P(寶藏) = P(寶藏|晴天) × P(晴天) + P(寶藏|雨天) × P(雨天) = 0.8×0.6 + 0.3×0.4 = 0.48 + 0.12 = 0.60

所以，P(雨天|寶藏) = (0.3×0.4)/0.60 = 0.12/0.60 = 0.2

但題目並沒有問這個，而是直接問P(雨天 ∩ 寶藏)，也就是0.12。

所以可能題目的提示只是讓學生用乘法規則來計算聯合概率，而題目中提到的貝氏定理可能是一個誤導，或者需要結合到某個步驟中。

不過也有可能，題目中的“遇到雨天卻有寶藏”的機率，如果被理解為在雨天的情況下遇到寶藏的概率，那其實就是P(寶藏|雨天)=0.3，也就是30%。

不過這裡題目給出的提示是0.4×0.3=0.12，所以顯然題目問的是聯合概率，即天氣是雨天同時有寶藏的情況，而不是在雨天條件下有寶藏的概率。

因此，答案應該是0.12，也就是12%。這符合乘法規則的應用，而貝氏定理可能在這個問題中並沒有直接應用的必要，除非存在其他的條件或者問題中的某些部分被誤解了。

總結一下，步驟應該是：

1. 確定天氣的概率：P(晴天)=0.6，P(雨天)=0.4。

2. 確定在對應天氣下有寶藏的條件概率：P(寶藏|晴天)=0.8，P(寶藏|雨天)=0.3。

3. 計算聯合概率P(雨天 ∩ 寶藏)=P(雨天) × P(寶藏|雨天)=0.4 × 0.3=0.12。

因此，答案就是12%，也就是0.12。

不過，為了確保自己理解正確，再考慮是否有其他可能的解釋。例如，是否存在其他因素，或者題目的表述是否有歧義。

例如，“遇到雨天卻有寶藏”是否指的是在傳送門是雨天的情況下，發現確實有寶藏的概率，這其實就是條件概率P(寶藏|雨天)=0.3，但題目給的提示是聯合概率，所以可能題目的表述存在歧義，但根據提示，正確答案應該是聯合概率的0.12。

或者，可能作者希望用貝葉斯定理來推導這個結果，即使這其實不需要。

例如，或許需要從另一個角度，比如已知寶藏的存在，求雨天的概率，然後再反過來應用，但這可能反而複雜。

總之，根據題目的資訊和提示，正確的計算方式應該是聯合概率，即0.4乘以0.3，得到0.12。因此，答案就是0.12，即12%。

根據題目條件與貝氏定理的應用，我們可以逐步解析如下：

步驟解析：

    確定天氣的概率：

        晴天概率 P(晴天)=0.6

        雨天概率 P(雨天)=1−P(晴天)=0.4

    確定條件概率（寶藏存在於對應天氣下的機率）：

        晴天王國有寶藏的概率 P(寶藏∣晴天)=0.8

        雨天王國有寶藏的概率 P(寶藏∣雨天)=0.3

    計算「雨天且存在寶藏」的聯合概率：

        根據乘法規則，聯合概率 P(雨天∩寶藏)=P(雨天)×P(寶藏∣雨天)

        代入數值：0.4×0.3=0.12

答案：

遇到雨天卻有寶藏的機率為 12%，即0.12