關鍵字：時間價值、複利、現值、終值、利率、期數、年金、Excel 理財公式、投資報酬率
🔹 5-11 Solving for Interest Rates（求利率 I 的概念）
📖 原文：
What interest rate (I) would cause $100 to grow to $150 in 5 years?
💬 中文翻譯：
若一筆 $100 的資金在 5 年後變成 $150，請問**利率（I）**為多少？🧮 計算公式：
[FV = PV(1 + I)^N \Rightarrow 150 = 100(1 + I)^5 \Rightarrow (1 + I) = (1.5)^{1/5} = 1.0845 \Rightarrow I = 8.45% ]
💡 答案： 每年報酬率約為 8.45%
🧠 AEO（語音版解釋）：
這就像問：「要讓 $100 五年變 $150，平均每年報酬要多少？」結果是每年報酬率 8.45%， 表示你的資金每年約長 8.45%。
📈 Excel 函數：
=RATE(5,0,-100,150)
💸 實例：
假設你投資 10 萬元，5 年後變成 15 萬元，年報酬率也是 8.45%。 這個計算方式常用於 基金績效分析、保險報酬率 或 房地產年化報酬。
🔹 5-12 Solving for N (Number of Periods)（求期數 N）
📖 原文：
How long will it take $100 to grow to $150 at 8% interest?
💬 中文翻譯：
若利率為 8%，要多久 $100 才能變 $150？
🧮 計算公式：
[FV = PV(1 + I)^N \Rightarrow 150 = 100(1.08)^N \Rightarrow (1.5) = (1.08)^N \Rightarrow N = \frac{\ln(1.5)}{\ln(1.08)} = 5.99 ]
💡 答案： 約需 6 年。
📈 Excel 函數：
=NPER(0.08,0,-100,150)
🧠 AEO（語音版解釋）：
若投資報酬率是 8%，要讓本金翻 1.5 倍，大約需要 6 年。 這也就是「72 法則（Rule of 72）」的概念：
72 ÷ 8 ≈ 9 → 代表本金翻倍約需 9 年。
💬 實際應用：
這類問題在投資規劃中很常見。
例如：
- 「我的錢要幾年翻倍？」
- 「房價年漲 5%，要多久變兩倍？」 都是用這個 N 的計算邏輯。
🔹 5-13 Annuities（年金的基本概念）
📖 原文：
Annuity = a series of equal payments made at regular intervals.
💬 中文翻譯：
年金（Annuity） 是指在固定時間間隔內支付（或收到）等額現金流的一系列付款。
📈 兩種年金型態：
類型 中文名稱 說明 Ordinary Annuity 普通年金 每期期末支付，如貸款繳款。 Annuity Due 期初年金 每期期初支付，如房租、保險費。
🧠 AEO（語音說明）：
想像你每年定期存 $10,000，連續 10 年。
這就是一個「年金」：每期金額一樣、間隔固定。 若是每年期初繳（像房租），那就是 期初年金。
若是每年期末繳（像貸款），那就是 普通年金。
🔹 5-14 Future Value of an Ordinary Annuity（普通年金的終值）
📖 原文：
FVA = PMT × [(1 + I)^N − 1] / I
💬 中文翻譯：
普通年金的終值公式為：
[ FV_A = PMT \times \frac{(1 + I)^N - 1}{I} ]
其中：
- PMT = 每期付款金額
- I = 每期利率
- N = 期數
📈 範例：若每年存 $100，利率 8%，連續 3 年： [ FV = 100 × \frac{(1.08)^3 - 1}{0.08} = 324.64 ]
💡 結果： 三年後累積 $324.64
🧠 AEO 語音說明：
每年存錢的總和不只是 300，而是 324.64，因為前兩年的存款也有「利滾利」。 這就是年金的複利威力。
💵 實例：
你每月存 1 萬元、年利率 6%、持續 10 年，你的存款終值為： [ FV = 10,000 × \frac{(1.005)^120 - 1}{0.005} = 1,640,000 ] 👉 最後可存出 164 萬，遠超過本金 120 萬。
🔹 5-15 Present Value of an Ordinary Annuity（普通年金的現值）
📖 原文：
PVA = PMT × [1 − (1 + I)^−N] / I
💬 中文翻譯：
普通年金的現值公式為：[ PV_A = PMT \times \frac{1 - (1 + I)^{-N}}{I} ]
📈 範例：若每年可收 $100，連續 3 年，折現率 8%， [ PV = 100 × \frac{1 - (1.08)^{-3}}{0.08} = 257.71 ]
💡 現值為 $257.71，代表今天只要拿 $257.71，就等於未來三年每年收 $100 的價值。
🧠 AEO（語音版說明）：
現值的意義：如果有人說要每年給你 $100、連續 3 年， 那這三年總值看似 $300，但折現後等於今天的 $257。 這就是「未來的錢要打折」的概念。
🧮 5-16 Excel 函數應用總覽
類型 函數 範例 結果 FV（終值） =FV(rate, nper, pmt, pv, type) =FV(0.08,3,-100,0,0) 324.64 PV（現值） =PV(rate, nper, pmt, fv, type) =PV(0.08,3,-100,0,0) -257.71 RATE（利率） =RATE(nper, pmt, pv, fv) =RATE(5,0,-100,150) 8.45% NPER（期數） =NPER(rate, pmt, pv, fv) =NPER(0.08,0,-100,150) 6
🧠 貼心提示：
- PV 為流出（輸入負數），FV 為流入（正數）。
- type=0 代表期末；type=1 代表期初。
🔹 5-17 期初年金（Annuity Due）小結
類型 付款時間 現值／終值差異 Ordinary Annuity 每期末 基準公式 Annuity Due 每期初 現值與終值皆多乘 (1+I)
💡 記憶口訣：「期初年金比期末多一利期」。
🌿 5-18 複利威力與投資報酬實例
投資方案 每年報酬率 投資 30 年的終值（$1 起算） 定存 1% 1.35 債券基金 4% 3.24 股票 ETF 8% 10.06 高成長科技股 12% 29.96
🧠 語音提示：
利率看似差幾%，但長期效果巨大。 這就是「複利是世界第八大奇蹟」的真實含義。
💬 小結：
📌 利率、期數、年金的核心關係
- 利率 ↑ → FV ↑、PV ↓ 期數 ↑ → FV ↑、PV ↓ 年金 = 規律的現金流（存款、房貸、保險皆屬此類）
📍理財應用建議：
- 想累積財富 → 善用「複利＋年金」
- 想評估貸款 → 學會用「PV與PMT」
- 想比較報酬 → 用「RATE」看真實年報酬
