導讀：多數工程錯誤，死在「差一點點」
工程中充滿各種近似：
• sin(x) ≈ x
• e^x ≈ 1 + x• 忽略二次項
• 忽略高頻項
在正常範圍內，這些近似很好用。
但當條件改變時：
👉 「差一點點」可能變成「差很多」。
工程師學無窮小，不是為了推導泰勒級數，
而是為了回答：
👉 這個「小量假設」，現在還成立嗎？
一、什麼是無窮小？工程版理解
數學說：
x → 0
工程語言：
👉 x 很小
👉 但不是 0
關鍵不是大小，而是：
👉 跟誰比？
二、無窮小一定要有「比較對象」
工程上永遠問：
x 相對於什麼很小？
例如：
• 訊號振幅相對於供應電壓
• 雜訊相對於訊號功率
• 誤差相對於規格容許值
沒有比較對象的「很小」，沒有意義。
三、一次近似從哪來？
常見近似：
sin(x) ≈ x
e^x ≈ 1 + x
本質是：
👉 只保留一階項
因為：
x^2, x^3 在 x 很小時更小
四、什麼時候近似開始失真？
當：
x 不再遠小於 1
例如：
x = 0.01 → 很準
x = 0.1 → 勉強
x = 0.5 → 開始歪
x = 1 → 不能用
工程直覺：
👉 超過十分之一，就要懷疑
五、誤差其實在偷偷累積
單一步驟誤差很小
多級系統：
• 放大
• 疊加
• 反饋
結果：
👉 小誤差變大災難
六、電路例子：小角度近似
在相位雜訊分析中：
sin(θ) ≈ θ
當 θ 很小：OK
當相位抖動變大：
👉 頻譜直接炸開
七、控制系統例子
線性化：
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)
只在 x 接近 x0 時成立
離太遠：
👉 模型錯
👉 控制器發散
八、工程師的三個檢查問題
1️⃣ 這個小量相對於誰？
2️⃣ 最大可能值多少？
3️⃣ 誤差會不會被放大？
九、工程版一句話總結
👉 無窮小不是「夠小就好」，
而是「小到還在安全範圍內」。
十、本單元你應該建立的直覺
✔ 近似一定有邊界
✔ 超過邊界就要換模型
✔ 誤差會累積
🔜 下一單元預告
🚧 5／60 漸近行為：工程模型的安全使用邊界
