導讀：工程事故，往往發生在「邊界」
大多數系統在「正常範圍」內都運作良好。
真正出問題的時候，幾乎都出現在：
• 高溫• 高頻
• 大電流
• 超高速
• 超小尺寸
也就是：
👉 極端條件
工程師學極限與函數行為的目的，不是為了算題目，而是為了回答：
👉 當參數被推到邊界時，這個公式還可信嗎？
一、為什麼要研究極端條件？
因為工程模型：
✅ 都是近似
❌ 沒有永遠成立的公式
極端條件就是：
👉 模型的「壓力測試」
二、工程中最常見的五類函數
1️⃣ 多項式
2️⃣ 指數函數
3️⃣ 對數函數
4️⃣ 三角函數
5️⃣ 有理函數（分子／分母）
每一類在極端條件下，都有固定脾氣。
三、多項式函數：最高次項決定命運
形式：
f(x) = a_n*x^n + ... + a_1*x + a_0
當 |x| → ∞：
|x| -> ∞
👉 只剩最高次項有影響
工程直覺：
• n 為偶數 → 兩端同向
• n 為奇數 → 一正一負
用途：
👉 判斷系統是否會發散
四、指數函數：成長最快的怪獸
f(x) = e^x
當 x → ∞：
x -> ∞ , f(x) -> ∞
當 x → -∞：
x -> -∞ , f(x) -> 0
工程意義：
• 熱失控
• 放大器飽和
• 電池 runaway
看到指數成長：
👉 立刻警覺
五、對數函數：成長很慢，但會崩潰
f(x) = ln(x)
當 x → 0⁺：
x -> 0^+ , f(x) -> -∞
工程意義：
👉 接近 0 的參數會造成數值崩潰
常見於：
• SNR • 壓縮演算法
• 資訊理論
六、三角函數：永遠震盪
sin(x), cos(x)
特性：
👉 有界
👉 不發散
👉 會震盪
工程意義：
• 穩態振盪
• 頻率分析
• 波形建模
七、有理函數：分母決定生死
f(x) = p(x) / q(x)
若：
q(x) = 0
則：
f(x) -> ∞
工程意義：
👉 共振
👉 不穩定
👉 模型失效
八、工程速查表（心中版）
• 指數 ↑ → 危險
• 分母 → 0 → 爆炸
• 對數接近 0 → 崩潰
• 三角 → 震盪
• 多項式看最高次
九、工程版一句話總結
👉 工程師不是在背公式，而是在背「公式在極端時的脾氣」。
十、本單元你應該建立的直覺
✔ 看見公式先想極端
✔ 問：會爆嗎？
✔ 問：會收斂嗎？
✔ 問：模型還可信嗎？
🔜 下一單元預告
🔍 4／60 無窮小的工程直覺：近似從哪裡開始失真？
