導讀：工程世界裡，幾乎沒有「完美積分」
在課本中，你常看到：
👉 可以直接算出 ∫ f(x) dx
但在真實工程中：👉 函數可能來自量測
👉 波形可能有雜訊
👉 公式可能不存在封閉解
結果是：
👉 大量積分只能用數值方法近似
一、什麼是數值積分？
數值積分的核心想法：
👉 把曲線切成很多小段
👉 每一小段用簡單形狀近似
👉 再全部加起來
工程語言：
👉 用「離散資料」近似連續積分
二、最直觀的方法：矩形法
把區間切成 N 份：
Δx = (b − a) / N
每一小段近似為：
Area ≈ f(xᵢ) · Δx
整體近似：
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ Σ f(xᵢ) · Δx
工程直覺：
👉 把曲線當成一排細長的柱子
三、梯形法：更好的近似
每一小段用梯形：
Area ≈ ( (f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁)) / 2 ) · Δx
整體：
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ Σ ( (f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁)) / 2 ) · Δx
工程直覺：
👉 用斜邊修正矩形的誤差
四、數值積分一定有誤差
誤差來源：
👉 切得不夠細
👉 波形彎曲太快
👉 量測雜訊
重要事實：
👉 誤差永遠不為零
五、工程真正關心的是：誤差能不能接受
工程不是問：
👉 有沒有誤差？
而是問：
👉 誤差多大？
👉 會不會造成危險？
👉 會不會影響設計判斷？
六、步長與誤差的關係
Δx 越小：
👉 計算量越大
👉 誤差越小
Δx 越大：
👉 計算快
👉 誤差大
工程上永遠在做：
👉 精度 vs 計算成本 的折衷
七、工程版一句話總結
數值積分不是在追求完美，
而是在控制誤差。
八、本單元你應該建立的直覺
✔ 大部分工程積分靠近似
✔ 誤差不可避免
✔ 重點是是否可接受
🧮 單元案例題（梯形法近似）
已知：
f(x) = x²，0 ≤ x ≤ 2
使用 N = 4 等分梯形法近似 ∫₀² x² dx。
解題
Δx = (2 − 0) / 4 = 0.5
取點：
x = 0, 0.5, 1, 1.5, 2
f(x)：
0² = 0
0.5² = 0.25 1² = 1 1.5² = 2.25 2² = 4
套用梯形法：
Area ≈ (0.5 / 2) · [ 0 + 2(0.25 + 1 + 2.25) + 4 ]
= 0.25 · [ 0 + 2(3.5) + 4 ]
= 0.25 · 11 = 2.75
真實值：
∫₀² x² dx = [ x³ / 3 ]₀² = 8 / 3 ≈ 2.67
工程直覺
👉 有誤差是正常
👉 誤差約 0.08
👉 若需求精度在 ±0.1 以內 → 可接受
✅ 本單元核心帶走一句話
工程不是消滅誤差，
而是管理誤差。
