📌 導讀：白雜訊不是神秘怪象，而是最自然的隨機模型
在工程分析中，特別是通訊與訊號處理領域，常常會使用一個非常簡單卻普遍適用的模型：
👉 白雜訊（White Noise）
白雜訊是最常見的隨機過程假設之一，背後有相當深刻的工程與數學理由。
🧠 一、什麼是白雜訊？（工程直覺）
白雜訊是指：
👉 一種功率譜密度（PSD）在所有頻率上大致相同的隨機訊號
用數學表示：
Sₙ(ω) = constant
或常寫為：
Sₙ(ω) = N₀ / 2
代表：
👉 在每一個頻率 ω 上，雜訊能量相同
就像白光包含所有顏色一樣，白雜訊在頻域上是平坦的。
🧠 二、為什麼工程師常用白雜訊模型？
🔹 1) 來自大量微小雜訊的疊加
實際世界中的雜訊來源包含：
✔ 金屬導體中的熱雜訊
✔ 電子元件中的隨機電荷運動
✔ 多個干擾源的疊加
依據中心極限定理：
大量獨立微小擾動相加後 → 近似高斯分布
因此實際雜訊常可近似為：
👉 加性高斯白雜訊（AWGN）
🔹 2) 數學性質非常簡單
白雜訊通常假設：
E[n(t)] = 0
Sₙ(ω) = constant
Rₙ(τ) ∝ δ(τ)
代表：
✔ 平均為 0
✔ 不同時間點互不相關
✔ 頻域平坦
這使得工程分析：
✔ 推導容易
✔ 容易得到閉式解
✔ 理論清楚
🔹 3) 在有限頻寬內近似成立
理想白雜訊需要無限頻寬（物理上不可能），
但在實際設計頻帶內：
✔ 通訊工作頻段
✔ 感測器有效頻段
✔ 控制系統頻段
雜訊 PSD 往往近似平坦。
👉 在工程上，白雜訊是合理近似模型。
🔹 4) 不相關代表最簡模型
白雜訊假設：
n(t₁) 與 n(t₂) 在 t₁ ≠ t₂ 時不相關
代表：
👉 未來雜訊無法由過去推測
👉 純隨機
這讓：
✔ 最小方差估計
✔ 卡爾曼濾波
✔ 系統辨識
變得可行。
🧠 三、工程上白雜訊的典型用途
📍 ① 通訊系統
AWGN 信道模型：
r(t) = s(t) + n(t)
用來分析：
✔ SNR
✔ 誤碼率
✔ 信道容量
📍 ② 控制系統
感測雜訊、外部擾動常設為白雜訊：
dx/dt = A·x + B·u + w(t)
方便進行濾波與狀態估測。
📍 ③ 系統辨識
使用白雜訊作為輸入：
X(t) ≈ white noise
因為輸入涵蓋所有頻率，可量測完整頻率響應。
📌 一句話記住
👉 白雜訊同時是自然現象的合理近似，也是數學上最容易處理的雜訊模型。
🧮 實務數學題（含解析）
題目
假設 n(t) 為平穩高斯白雜訊：
Sₙ(ω) = N₀ / 2
E[n(t)] = 0
請回答：
(1) n(t) 的自相關函數 Rₙ(τ)
(2) 為何與 δ(τ) 有關
(3) 白雜訊激勵系統的好處
📌 解析
(1) 自相關函數
Rₙ(τ) = ∫₋∞~∞ Sₙ(ω) · e^(j·ω·τ) dω
因為 Sₙ(ω) 為常數：
Rₙ(τ) ∝ δ(τ)
(2) 工程直覺
δ(τ) 表示：
✔ 只有在 τ = 0 時相關
✔ 其餘時間互不相關
→ 完全無記憶
(3) 白雜訊作為激勵
✔ 輸入包含所有頻率
✔ 輸出顯示完整系統頻率響應
✔ 方便辨識系統特性
📌 工程總結
✔ 白雜訊是最常用雜訊模型
✔ PSD 平坦
✔ 數學簡單
✔ 廣泛應用於通訊、控制、濾波與系統辨識
