📌 導讀：什麼是隨機過程？
在前面的單元中，我們已經學過：
👉 隨機變數 用來描述「某一個時刻」的不確定性。
但真實工程世界中，大多數系統都不是靜態的，而是連續運作的動態系統：
• 感測器輸出會隨時間抖動
• 通訊通道品質會時好時壞
• 控制系統持續受到外界干擾
• 生產設備的誤差呈現時間序列
也就是說：
👉 不確定性不是一次性的，而是沿著時間不斷流動。
因此，我們需要一個工具，來描述：
👉 「不確定性如何隨時間演化」
這個工具就是：
👉 隨機過程（Random Process / Stochastic Process）
🧠 一、隨機過程的核心定義（工程語言）
📍 隨機過程 X(t)
在每一個時間點 t：
X(t) 都是一個隨機變數。
整體來看：
X(t₁), X(t₂), …, X(tₙ)
形成一條隨機時間序列。
🔎 工程直覺
可以把隨機過程想成：
👉 一台「每秒都在丟骰子」的系統
每一次丟出的結果都是隨機變數，
而這一長串結果組合起來，就是隨機過程。
📍 為什麼工程一定要用隨機過程？
若只用隨機變數：
✔ 只能描述單點誤差
但工程系統需要：
✔ 描述雜訊是否會持續
✔ 描述干擾是否會累積
✔ 描述系統是否有記憶性
隨機過程讓工程師可以分析：
✔ 長期平均
✔ 波動形態
✔ 時間相關性
✔ 頻率分布
🧠 二、平均函數：看整體趨勢
mₓ(t) = E[X(t)]
🔎 工程直覺
平均函數回答的是：
👉 在時間 t，系統「平均會落在哪裡？」
例如：
mₓ(t) = 0
代表：
✔ 雜訊上下擺動
✔ 但中心在 0
✔ 沒有系統性偏移
🔧 工程意義
• 若平均值不為 0 → 系統有偏差
• 若平均值漂移 → 系統老化或失準
平均函數常用來:
✔ 校正感測器
✔ 偵測漂移
✔ 判斷是否需要重新標定
🧠 三、自相關函數：看記憶性
Rₓ(t₁, t₂) = E[X(t₁) · X(t₂)]
🔎 工程直覺
自相關回答：
👉 現在的雜訊，跟「剛剛的雜訊」有沒有關係？
📍 兩種極端情況
高相關
✔ 有慣性
✔ 有拖尾
✔ 低頻成分強
低相關
✔ 變化快
✔ 接近白噪聲
✔ 高頻成分多
🔧 工程用途
✔ 判斷是否需要濾波
✔ 判斷系統是否有記憶性
✔ 作為 PSD 的基礎
🧠 四、白噪聲模型
E[X(t)] = 0
Var(X(t)) = σ²
Rₓ(t₁, t₂) = σ² · δ(t₁ − t₂)
🔎 工程直覺
白噪聲表示：
👉 每一個時間點都是全新亂數
👉 彼此完全不相關
⚠ 重要提醒
現實中沒有真正的白噪聲，
但工程上常用它作為：
👉 最壞情況近似模型
🧠 五、平穩過程
mₓ(t) = constant
Rₓ(t₁, t₂) = Rₓ(τ)
τ = t₂ − t₁
🔎 工程直覺
統計特性：
👉 今天看、明天看都一樣
這使得：
✔ 分析大幅簡化
✔ 模型可重複使用
🧠 六、馬可夫過程
P(X(t + Δt) | X(t), … )
= P(X(t + Δt) | X(t))
🔎 工程直覺
未來只取決於現在，
與更早歷史無關。
🔧 應用
✔ 通道狀態切換
✔ 控制狀態空間
✔ AI 強化學習
🧠 七、功率譜密度（PSD）
Sₓ(ω) = ∫₋∞~∞ Rₓ(τ) · e^(−j·ω·τ) dτ
🔎 工程直覺
PSD 回答：
👉 雜訊能量集中在哪些頻率？
🔧 工程用途
✔ 濾波器設計
✔ 頻譜遮罩
✔ 噪聲預算
🧠 八、工程模型
通訊：
r(t) = s(t) + n(t)
控制：
dx/dt = A·x + B·u + w(t)
📌 一句話總結
👉 隨機過程是「時間版的隨機變數」，是動態系統不確定性的語言。
