📌 導讀：訊號不是只有你想要的部分
在真實系統中：
✔ 想要的訊號 s(t)
✔ 加上雜訊 n(t)
接收端看到的實際輸入是：
x(t) = s(t) + n(t)
這裡的 **噪聲（雜訊）**不是偶發事件，而是系統不可避免的一部分，影響：
· 通訊的可靠性
· 感測器的準確度
· 控制系統的穩定性
· 音訊/影像品質
所以工程師需要一個量化 “訊號到底比雜訊好多少？” 的指標 —— 訊噪比（SNR）。
🧠 一、定義：什麼是雜訊？
雜訊（Noise）是指：
👉 與你想要的訊號無關
👉 隨機、不可預測
👉 會干擾訊號的真實內容
👉 在頻域通常是 PSD（功率譜密度）的一部分
常見模型：
n(t) 是隨機過程
且 E[n(t)] = 0（平均為零）
Var(n(t)) = σₙ²
🧠 二、定義：SNR（Signal-to-Noise Ratio）
SNR 是：
👉 訊號功率與雜訊功率的比值
通常定義為：
SNR = P_signal / P_noise
如果是以 分貝（dB） 表示：
SNR_dB = 10·log₁₀(P_signal / P_noise)
📍 為什麼用功率？
因為：
✔ 能量才是訊號與雜訊真正的“重量”
✔ 電子系統測量的電壓、電流等最終與功率掛鉤
✔ 用功率比較不同頻率下的干擾與訊號強度最直觀
🧠 三、如何量訊號功率與雜訊功率
🎯 訊號功率
若 s(t) 是一段穩態訊號，可以用：
P_signal = (1 / T)·∫_{0}^{T} |s(t)|² · dt
若是隨機過程 s(t)，取期望值：
P_signal = E[|s(t)|²]
🔊 雜訊功率
若 n(t) 是隨機過程：
P_noise = E[|n(t)|²] = Var(n)
若 n ∼ Normal(0, σₙ²)：
P_noise = σₙ²
🧠 四、SNR 與品質的直覺
📍 高 SNR
若：
P_signal >> P_noise
那麼：
✔ 訊號清晰
✔ 雜訊不明顯
✔ 系統品質高
📍 低 SNR
若：
P_signal ≈ P_noise
甚至：
P_signal < P_noise
那麼：
✔ 訊號被噪聲淹沒
✔ 接收端錯誤率高
✔ 量測不可靠
🧠 五、SNR 與 dB 的便利性
用分貝表示：
SNR_dB = 10·log₁₀(P_signal / P_noise)
例如：
若訊號功率是雜訊功率的 100 倍：
SNR = 100
SNR_dB = 10·log₁₀(100) = 20 dB
🧠 六、SNR 在工程中的關鍵應用
📍 通訊系統
在通訊中，SNR 與誤碼率（BER）密切相關：
✔ SNR 高 → BER 低
✔ SNR 低 → BER 高
因此通訊系統設計時：
👉 必須確保接收端的 SNR 足夠大
👉 以達到預期的錯誤率
📍 感測器與控制
感測器讀值：
x(t) = true + n(t)
若 n(t) 的變異很大（σₙ² 很大）：
✔ 控制器分不清狀態
✔ 反應可能過度或不穩定
設計上要提升：
✔ 感測器精度
✔ 濾波器性能
✔ 控制算法對噪聲的抑制
📍 音訊與影像處理
在音訊/影像中：
· 高 SNR → 清晰無雜訊
· 低 SNR → 胡亂雜訊、失真
因此：
✔ 過濾雜訊
✔ 降噪
✔ 提升 SNR 是設計重點
📌 一句話記住
SNR 是衡量「訊號強度 vs 雜訊強度」的比率，它決定了系統能否「看清楚」或「聽清楚」目標訊號。
🧮 實務數學題（含解析）
題目
在一個通訊系統中：
✔ 訊號 s(t) 的平均功率為 1 mW
✔ 雜訊 n(t) 是平均 0、變異數 σₙ²= 0.001 mW（即 P_noise = 0.001 mW）
請回答：
(1) 求 SNR
(2) 求 SNR（dB）
(3) 若雜訊變成 0.01 mW，SNR 看起來如何？
(4) 工程上提高 SNR 的三種方法
📌 解析
（1）求 SNR
SNR = P_signal / P_noise
= 1 mW / 0.001 mW = 1000
（2）求 SNR（dB）
SNR_dB = 10·log₁₀(1000)
= 10·(3) （因為 log₁₀(1000) = 3）
= 30 dB
（3）若雜訊變成 0.01 mW
P_noise = 0.01
新 SNR = 1 / 0.01 = 100
SNR_dB = 10·log₁₀(100) = 20 dB
可見：
✔ 雜訊增加 → SNR 降
✔ 品質下降
（4）工程上提高 SNR 的方法
📌 ① 提升訊號強度
✔ 增加發射功率
✔ 或在接收端放大目標訊號
📌 ② 降低雜訊
✔ 使用更低雜訊元件
✔ 醜訊屏蔽
✔ 良好隔離設計
📌 ③ 濾波與訊號處理
✔ 通道選擇性濾波
✔ 最佳估計/卡爾曼濾波
✔ 錯誤校正碼
這些方法都能有效提升“有效 SNR”。
📌 工程收斂
✔ SNR 是工程品質的核心指標
✔ SNR 越高 → 訊號越可靠
✔ SNR 的提高可以靠三大方向：提升訊號 / 降低雜訊 / 智慧處理
🧠 工程直覺總結
✅ SNR 直接量化訊號與雜訊的可分性
✅ 用功率比較比用振幅更穩健
✅ 在通訊、控制、感測、音訊、量測等各種工程領域中都是關鍵指標
✅ 30 dB SNR 通常代表訊號明顯強於雜訊
✅ 20 dB SNR 則是一般可接受但品質下降
