📌 導讀：PSD 到底在量什麼？
在前面單元我們知道：
✔ 隨機過程在時域可用平均與自相關描述
✔ 白雜訊在所有頻率含有等量能量
但工程設計時真正關心的是：
👉 雜訊「集中在哪些頻率」？
👉 哪些頻率最容易污染系統？
👉 濾波器要抑制哪一段頻帶？
👉 哪些頻率會主導誤碼率、震盪或不穩定？
👉 這些問題，用頻率域比時域直覺得多。
因此需要：
👉 功率譜密度（Power Spectral Density, PSD）
🧠 一、PSD 的正式定義（Unicode）
對隨機過程 X(t)：
自相關函數：
Rₓ(τ) = E[ X(t) · X(t + τ) ]
功率譜密度：
Sₓ(ω) = ∫₋∞~∞ Rₓ(τ) · e^(−j·ω·τ) dτ
👉 物理直覺
1️⃣ Rₓ(τ)：量「時間上有多相關」
2️⃣ 傅立葉轉換：把相關性分解成頻率成分
3️⃣ Sₓ(ω)：得到「各頻率平均功率」
👉 PSD = 時間相關性 → 頻率能量分布
🧠 二、PSD 量的是「平均功率」
PSD 的單位通常為：
功率 / Hz
代表：
👉 每 1 Hz 頻寬內平均包含多少功率
若要得到某頻帶功率：
P = ∫_{ω₁}~{ω₂} Sₓ(ω) dω
👉 工程意義
✔ PSD 是功率密度
✔ 積分後才是總功率
✔ 曲線下面積 = 能量或功率
🧠 三、PSD vs 傅立葉頻譜
🔹 傅立葉頻譜
X(ω) = ∫₋∞~∞ x(t) · e^(−j·ω·t) dt
描述：
👉 單一確定訊號的頻率組成
🔹 PSD
Sₓ(ω) = E[ |X(ω)|² ]
描述：
👉 多次實驗後「平均功率」在頻率上的分布
👉 差別總結
✔ 傅立葉：一次量測
✔ PSD：長期統計平均
隨機訊號 → 一定用 PSD
🧠 四、白雜訊與 PSD
白雜訊 n(t)：
E[ n(t) ] = 0
Rₙ(τ) = σ² · δ(τ)
傅立葉轉換：
Sₙ(ω) = ∫₋∞~∞ σ²·δ(τ)·e^(−j·ω·τ) dτ
Sₙ(ω) = σ²
👉 工程直覺
✔ 所有頻率功率相同
✔ 沒有偏好頻率
✔ 時間上完全無記憶
這就是「白」
🧠 五、PSD 與時間相關性的關係
🔹 高相關、平滑的隨機過程
- 時域特性：變化慢、波形連續、相鄰時間點相似
- PSD 形狀：能量集中在低頻，呈低通型分布
🔹 低相關、快速變動的隨機過程
- 時域特性：起伏快、抖動明顯、變化劇烈
- PSD 形狀：頻寬大，高頻成分多，能量分布較寬
🔹 完全不相關（白雜訊）
- 時域特性：每一時刻近似獨立、無記憶性
- PSD 形狀：平坦，在所有頻率上能量近似相同
📌 一句話記住
時域變化越平滑 → PSD 越集中在低頻；
時域變化越劇烈 → PSD 頻寬越大；
完全隨機 → PSD 平坦。
👉 核心直覺
時間越平滑 → 頻率越集中
時間越亂跳 → 頻率越分散
🧠 六、工程中 PSD 的三大用途
📍 1) 雜訊頻譜分析
查看：
Sₙ(ω) 哪些地方高
→ 找主要污染源
📍 2) 濾波器設計
設計 H(jω) 使：
|H(jω)|²·Sₙ(ω) 在干擾頻段變小
📍 3) 系統效應評估
輸入 PSD：
Sₓ(ω)
系統頻率響應：
H(jω)
輸出 PSD：
Sᵧ(ω) = |H(jω)|² · Sₓ(ω)
👉 超重要公式
輸入 PSD × 系統增益² = 輸出 PSD
🧠 七、單邊 PSD 與雙邊 PSD
雙邊：
ω ∈ (−∞, ∞)
單邊：
f ∈ (0, ∞)
關係：
S_single(f) = 2·S_double(ω)
工程上常用單邊表示。
🧠 八、離散時間 PSD（補充）
對離散序列 x[n]：
Rₓ[k] = E[ x[n]·x[n+k] ]
PSD：
Sₓ(e^{jω}) = Σₖ Rₓ[k]·e^(−j·ω·k)
用於：
✔ 數位濾波器
✔ DSP 系統
🧮 整合型實務題
已知：
Rₓ(τ) = A·e^(−α·|τ|)
求 PSD。
解
Sₓ(ω) = ∫₋∞~∞ A·e^(−α·|τ|)·e^(−j·ω·τ) dτ
Sₓ(ω) = (2·A·α) / (α² + ω²)
形狀解讀
✔ ω = 0 → 最大
✔ ω ↑ → 下降
→ 低通型 PSD
α 物理意義
α 大：
✔ 時域衰減快
✔ 訊號跳動快
✔ 頻譜寬
α 小：
✔ 記憶性強
✔ 平滑
✔ 頻譜窄
📌 一句話總結
👉 PSD 是隨機訊號在頻率軸上的平均功率地圖。
📦 工程總收斂
✔ PSD 來自自相關的傅立葉轉換
✔ 描述能量在頻率上的分布
✔ 決定濾波策略
✔ 決定噪聲影響程度
✔ 是通訊、控制、DSP 的核心工具
