— 這個 E 會推著能量流動、把雜訊推進來、把 EMI 推出去，讓工程從「靜態」直接進入「動態」。 （VOCUS：IV. 時變電磁場與 Maxwell 方程｜第 26 單元）
═══════════════════════════════════════
🎯 單元學習目標
完成本單元後，你將能夠：
① 用一句話講清楚：感應＝時間變化逼出電場
② 分辨 3 種常見感應：變壓器式 / 動生電動勢 / 渦電流
③ 會用工程最常用式：EMF = −N·dΦ/dt
④ 看懂微分式的警告：∇×E = −∂B/∂t（靜磁在這裡破）
⑤ 讀懂負號（楞次定律）：反抗變化＝能量守恆的保險絲
⑥ 把感應翻成現象鏈：尖峰、串擾、EMI、發熱、ringing、量測誤差
═══════════════════════════════════════🧭 1｜核心定位：感應不是「線圈電壓」，是「時間變化逼出電場」
✅ Φ_B(t) 只要在變 → 空間就被迫出現環狀 E → 回路上就會出現 EMF/電流。
【圖 1｜感應的真正主角：環狀電場】
Φ_B(t) 改變 → ⟲E 出現 → EMF / I ↑Φ / ↓Φ → ⟲ ⟲ ⟲ → v_ind / i_eddy
【圖 2｜「線圈電壓」只是外觀】
同一個 ⟲E，被不同對象「看見」：
• 線圈：v_ind
• 金屬：i_eddy（渦電流）
• 鄰近回路：v₂（互感串擾）
═══════════════════════════════════════
🧲 2｜三種常見型態（工程最常遇到的三張臉）
(1) 🌀 變壓器式感應（Transformer EMF）
磁通變動穿過線圈面積 → 線圈端出現感應電壓 應用：變壓器、耦合電感、隔離電源、訊號耦合
【圖 3｜變壓器式：磁通穿過線圈】
Φ(t) 穿越回路面積 A → N 匝回路感應：v_ind = −N·dΦ/dt 視覺直覺：Φ(t) ↑↓ → ⟲E ↑↓ → v_ind ↑↓
(2) 🛞 動生電動勢（Motional EMF）
導體在 B 中運動（切割磁力線） → 導體兩端出現電壓 應用：馬達、發電機、速度感測
【圖 4｜動生：導體切割磁場】
B 指向紙內：⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ 導體速度：v → 受力方向：q(v×B) ↑ 導體兩端：− … + （電壓被拉出來）
(3) 🔥 渦電流（Eddy current）
時變 B 在金屬內逼出環狀 E → 形成閉合電流 → 發熱/損耗/干擾 應用：磁芯損、金屬外殼發熱、屏蔽設計、感應加熱
【圖 5｜渦電流：金屬裡自己形成電流圈】
時變 B 穿過金屬 → 金屬內被迫出現 ⟲E → i_eddy：⟲ ⟲ ⟲ → 熱↑、損耗↑、雜訊↑、EMI↑
✅ 工程一句話：同一個「感應」，想要時是能量轉換；不想要時是損耗與干擾。
═══════════════════════════════════════
🧮 3｜工程最常用的公式（把直覺變成可算）
【數學 A｜積分形式：EMF = −dΦ/dt】
∮_C E·dl = − d/dt ∬_S B·dA = − dΦ_B/dt
若 N 匝、磁通近似一致：
v_ind = −N·dΦ_B/dt
【圖 6｜負號（楞次定律）的工程翻譯】
Φ 想增加 ↑ → 感應效應「反抗增加」（往 ↓ 推回去） Φ 想減少 ↓ → 感應效應「反抗減少」（往 ↑ 拉回去） 結論：你要讓 Φ 變快，就會被「頂住」→ 尖峰/反衝更兇
【數學 B｜微分形式：靜態世界的破口】
∇×E = −∂B/∂t
✅ 翻譯：只要 ∂B/∂t ≠ 0，E 就會變成「繞圈的非保守場」
→ 不能只靠電勢 V 來解釋，動態效應一定出現。
═══════════════════════════════════════
🛠️ 4｜工程最常見的 5 個「法拉第翻車現場」
(1) 📣 EMI / 串擾：你的 dI/dt 逼別人的回路出 EMF
【圖 7｜你一切換，別人就被感應】 Loop1：I(t) 變 → B(t) 變 → Φ 穿過 Loop2 Loop2：v₂ = M·dI/dt 鏈：dI/dt ↑ → v₂ ↑ → 串擾↑ / EMI↑
(2) ⚡ L·di/dt 尖峰：nH 在 ns 世界＝伏特級
【圖 8｜nH + ns = 伏特級尖峰】 ΔV = L·ΔI/Δt L 小（nH）× ΔI/Δt 大（A/ns）→ ΔV 仍可到 V 等級
(3) 🔥 金屬外殼發熱：渦電流把能量吃掉
時變 Φ 穿過外殼/屏蔽 → ⟲E → i_eddy → 熱↑ （效率↓、溫飄↑、可靠度風險↑）
(4) 🎢 Ringing：L 與 C 把能量關起來來回彈
磁場能量 ↔ 電場能量 互換（高 Q 更兇） → ringing / overshoot / 噪聲耦合
(5) 🧲 量測誤差：探棒/地線本身也是「被感應回路」
【圖 9｜量測迴路越大，越容易把感應噪聲量進來】 小迴路：⟲（面積小）→ Φ_link 小 → v_spur 小 大迴路：⟲⟲⟲（面積大）→ Φ_link 大 → v_spur 大
一句話：你以為在量 DUT，其實把「自己的迴路」量進來
═══════════════════════════════════════
🛰️ 5｜衛星 × 光通訊：法拉第怎麼把 BER 推高？
案例 A｜雷射/調變器驅動：高速 dI/dt → 尖峰/串擾 → 抖動 → BER
【 圖 10｜從 dΦ/dt 到 BER 的因果鏈】
dI/dt ↑ → dΦ/dt ↑ → v_ind ↑ → { 供電紋波↑ / 地彈↑ } → clock jitter ↑ → { 近場耦合↑ / 串擾↑ } → 噪聲底 ↑ → 眼圖收斂 → link margin ↓ → BER ↑
案例 B｜PAT 致動線圈：動作越激烈 → Φ 變越快 → 感應噪聲污染控制/感測
Φ 變快 → v_ind / 串擾 ↑ → 感測雜訊↑、控制抖動↑ → 耦合效率↓ → BER↑
案例 C｜地面站：長線束 + 金屬結構 → 感應 EMF + 渦電流 → 共模噪聲/發熱
大迴路 + 金屬結構 → i_eddy / 共模噪聲↑ → 噪聲底↑、靈敏度↓ → BER↑
═══════════════════════════════════════
✅ 6｜本單元小結
法拉第定律的核心不是「線圈產生電壓」，而是「磁通量只要隨時間改變，就會逼出環狀電場」。工程常用式 v_ind = −N·dΦ/dt；微分式 ∇×E = −∂B/∂t 則直接宣告：只要 ∂B/∂t 不可忽略，感應電壓、串擾、EMI、渦電流損耗與 ringing 都會自然出現。工程上的尖峰、互感串擾、外殼發熱、量測噪聲，本質都源自同一個「被迫出現的 ⟲E」；在衛星光通訊中，高速驅動、致動線圈與長線束/金屬結構，會以抖動與噪聲底抬升吞噬 link margin，最終推升 BER。
═══════════════════════════════════════
🧪 單元數學練習題
練習 1｜線圈感應電壓（必做）
N=200 匝；Φ：0.60 mWb → 0.10 mWb；Δt=5 ms，求 |v|。
✅ 解析：
ΔΦ = −0.50×10⁻³ Wb dΦ/dt = ΔΦ/Δt = (−0.50×10⁻³)/(5×10⁻³) = −0.10 Wb/s v = −N·dΦ/dt = −200×(−0.10) = 20 V → |v| = 20 V
練習 2｜L·di/dt 尖峰（必做）
L=8 nH；0.8 ns 內 ΔI=1.5 A，求 ΔV。
✅ 解析：
di/dt = ΔI/Δt = 1.5/(0.8×10⁻⁹) = 1.875×10⁹ A/s ΔV = L·di/dt = 8×10⁻⁹ × 1.875×10⁹ = 15 V
練習 3｜Φ(t)=Φ₀ sin(ωt) 的峰值（觀念＋計算）
Φ₀=2 μWb；f=1 MHz，求 V_peak。
✅ 解析：
v(t)=−dΦ/dt = −Φ₀ω cos(ωt) V_peak = Φ₀ω ω = 2πf = 2π×10⁶ V_peak = 2×10⁻⁶ × 2π×10⁶ = 4π ≈ 12.57 V
練習 4｜互感串擾（必做）
M=6 nH；1 ns 內 ΔI=2 A，求 |v₂|。
✅ 解答解析：
dI/dt = 2/(1×10⁻⁹) = 2×10⁹ A/s |v₂| = M·dI/dt = 6×10⁻⁹×2×10⁹ = 12 V
練習 5｜兩句話把 BER 鏈講清楚（概念）
✅ 解析：
di/dt 變大 → dΦ/dt 變大，依法拉第定律逼出更大的感應電壓（含 L·di/dt 尖峰與互感串擾），使供電紋波與地彈上升、時脈抖動與接收噪聲底抬升。 眼圖因此收斂、link margin 下降，最後把 BER 推高。
