📌 導讀：什麼才是真正能 “量化不確定性” 的工具？
在工程裡，不可靠性／不確定性不是一個籠統的概念，而是透過 隨機變數（Random Variable） 變成一種能計算、管理與預測的物件：
📍 原本的問題是：「會不會偏離？會偏離多少？」
📍 用隨機變數可以回答：「偏離的機率分布是什麼？」
隨機變數本質上是一種把：
👉 不確定性 → 映射為數值
👉 讓機率可以計算出來
👉 並可以定義平均值、波動性等
🧠 一、隨機變數是什麼？
「隨機變數」是：
📌 一種映射關係
它把：
✔ 各種可能的事件
映射成
✔ 數值結果
例如：
🎯 用感測器量溫度
測到的值不是固定，而是「可能落在 20°C ～ 22°C 之間」
這時候測到的溫度讀數就是：
👉 一個隨機變數 X
它不是一個確定數字，而是一個隨機的數值。
🧠 二、離散 vs 連續 隨機變數
① 離散式隨機變數
可能只會取某些特定值，例如：
✔ 0／1（失敗／成功）
✔ 1、2、3（骰子點數）
這種變數的機率分布通常用：
📌 P(X = xᵢ)
來描述。
② 連續式隨機變數
可能是任意實數，例如：
✔ 隨機雜訊 n
✔ 電壓讀值
✔ 光強度
此時不能用 P(X = x)（總是 0），而用：
📌 機率密度函數 f(x)
來描述：
P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x)·dx
🧠 三、隨機變數的兩大關鍵量化指標
🎯 1) 期望值（Expectation）
定義：
E[X] = ∑ xᵢ·P(X = xᵢ)（離散）
或
E[X] = ∫_{−∞}^{∞} x·f(x)·dx（連續）
工程直覺：
👉 期望值是 長期平均值
測很多次，平均會趨近這個數。
📏 2) 變異數與標準差
變異數：
Var(X) = E[(X − E[X])²]
標準差：
σ = √Var(X)
工程直覺：
👉 標準差衡量 波動性
越大 → 越不穩定／越不確定
🧠 四、為什麼隨機變數是工程必需？
在控制、通訊、機械、電力、AI 等系統中：
✔ 感測誤差會隨時間變動
✔ 雜訊是隨機過程
✔ 負載與外部干擾不是固定值
✔ 元件誤差有機率分布
沒有確定值可以代表系統行為
但有機率分布與統計量可代表系統平均與波動
因此工程師要能：
👉 把系統行為表示成 X 的分布
👉 用 E[X]／Var(X] 等量來量化
🧠 五、實際工程場景下的隨機變數
🔹 通訊系統
接收信號 r = s + n
其中：
n 是隨機雜訊
n ∼ Normal(0, σ²)
此時:
✔ r 是隨機變數
✔ 以機率分布描述接收值
🔹 控制系統
測量誤差 e_m = true − measured
若 e_m ∼ 某分布：
✔ 控制律設計必須考慮 e_m 的期望與變異
✔ 不是一個固定補償，而是「統計補償」
🔹 機械壽命分析
假設元件壽命 T 的分布是：
f_T(t) = 指數分布、Weibull 分布等
工程師能做：
✔ 預測失效率
✔ 預測可靠度
✔ 設定維護策略
📌 一句話記住
隨機變數是一個能把不確定性量化為可計算、可比較、可分析對象的數學抽象。
🧮 實務數學題（含解析）
題目：
在某通訊系統中，雜訊 n 是 常態分布：
n ∼ Normal(0, 4)
（表示平均 0、變異數 4）
訊號 s = 10
接收端總信號：
r = s + n
請回答：
(1) 隨機變數是什麼？
(2) 求 r 的機率分布
(3) 求期望值 E[r]
(4) 求 Var(r)
(5) 求 P(|r − 10| > 4)
📌 解析：
（1）隨機變數是什麼？
隨機變數 X 是一個用機率分布描述其可能取值的變數。
在本題：
✔ n 是隨機變數
✔ r 也是隨機變數（因為它含隨機誤差 n）
（2）求 r 的機率分布
r = s + n
= 10 + n
若 n ∼ Normal(0, 4)
則：
r ∼ Normal(10, 4)
（3）期望值
E[r] = E[10 + n]
= 10 + E[n] = 10 + 0 = 10
（4）變異數
Var(r) = Var(10 + n)
= Var(n) = 4
（5）求機率
P(|r − 10| > 4)
即：
P(|n| > 4)
因為：
n ∼ Normal(0, 4)
標準化：
Z = n / 2 ∼ Normal(0, 1)
所以：
P(|Z| > 2) ≈ 0.0455
🎯 工程意義整理
✔ 隨機變數 X 可用平均值 E[X] 量化中心趨勢
✔ 用 Var(X) / σ 量化波動
✔ 透過分布 P(|X − μ| > threshold) 量化極端事件機率
在工程設計中這些都能直接轉化為：
📌 可靠度
📌 故障率
📌 誤碼率
📌 安全裕度
🧠 工程收斂
隨機變數不是抽象概念，而是每天都在工程上實際用來：
✔ 模型雜訊
✔ 模型誤差
✔ 評估控制策略
✔ 定義容許範圍
✔ 做風險與可靠度分析
它讓：
不確定性 → 可量化、可比較、可管理
