📌 導讀：不確定性不是偶然，而是結構性
在前一單元我們提到：
✔ 工程世界一定充滿不確定性
✔ 這不是「偶發事件」，而是必然產生的結果
✔ 控制 / 通訊 / 訊號處理 / AI / 結構工程 都離不開不確定性
從這裡可以看出：
👉 工程師必須用一種有系統、有量化的語言來描述不確定性
這就是：
📍 機率（Probability）與隨機（Randomness）
🧠 一、工程不確定性的來源（回顧）
工程系統的不確定性主要来自：
1. 測量誤差（Sensor noise）
2. 元件參數變動（容差 ±5%／±10%）
3. 環境變動（溫度、濕度、電磁干擾）
4. 模型誤差（理論模型 ≠ 物理真實）
5. 未建模動態（複雜度與未知因素）
這些因素共同導致：
👉 同一輸入 不同時刻 / 不同條件 出現不同輸出
👉 系統回應變得隨機／不確定
數學上要描述這種不確定性 必須用機率語言。
🧠 二、決策必須考慮不確定性
當系統有不確定性時，工程師常遇到的問題是：
✔ 現在這個設計能不能安全運作？
✔ 在雜訊與參數浮動下能不能維持穩定？
✔ 預期性能會不會在最壞情況下崩壞？
✔ 機率上「失敗率是多少？」
這些都不是單一數值能回答的，而是要用機率 p、期望值 E[], 變異數 Var[] 等語言量化。
🧠 三、機率是工程的語言
📍 事件與機率
系統狀態可以是事件：
例如：
· 在 1 秒後輸出在允許區間內
· 感測值 n(t) 超過門檻
· 元件壽命超過 T 小時
對這些事件，你需要計算：
P(event) = 0 ≤ p ≤ 1
代表發生的可能性。
📍 隨機變數的期待值與變異性
若有隨機輸入 X，我們可以計算：
E[X] = 期望值（平均趨勢）
Var(X) = 變異數（波動程度）
SD(X) = √Var(X)（標準差）
這讓工程師能夠：
· 預測平均系統行為
· 評估系統的穩健性
· 設計門檻與容錯裕度
🧠 四、隨機性在關鍵工程中的實例
📌 通訊：雜訊與錯誤率
通道接收端的輸出包含隨機雜訊：
r(t) = s(t) + n(t)
其中 n(t) 是隨機雜訊
訊號取樣後須估計：
✔ 機率錯誤率 BER = P(誤判)
✔ SNR = 訊號 / 雜訊的機率性度量
這些都是機率論與統計下的基本概念。
📌 控制：擾動與狀態預測
系統狀態常受隨機擾動：
x_dot = A·x + B·u + w
其中 w 是隨機擾動
工程師用隨機模型與 卡爾曼濾波等方法：
✔ 最佳化狀態估計
✔ 最小化誤差協方差
✔ 預測不確定性影響
📌 機械與結構工程：疲勞壽命
載荷不是固定的，而是隨機的：
L(t) = 隨機載荷歷史
結構壽命不是確定值，而是：
P(壽命 > T) = ?
工程師用：
✔ 可靠度分析
✔ 生存分析
✔ 風險概率模型
來設計安全係數。
🧠 五、機率是評估風險的根本語言
工程的核心永遠圍繞一句話：
👉 你能承受的最大風險是什麼？
這需要用：
P(failure) ≤ 指定門檻
E[loss] ≤ 預算
Var(error) ≤ 容忍度
這些都是 機率 + 統計 的語言。
📌 一句話記住
工程世界充滿不確定性，因此機率不是選項，而是必要語言。
🧮 整合型數學題（含解析）
題目：
在一通訊系統中，接收端的接收值為：
r = s + n
其中：
✔ s 是已知常數訊號
✔ n 是隨機雜訊，假設服從常態分布：
n ∼ Normal(μ=0, σ=2)
(1) 求 r 的期望值 E[r]
(2) 求 r 的變異數 Var(r)
(3) 求 P(|r − s| ≥ 4)
（代表接收值偏離原訊號超過 4 的機率）
(4) 解釋此機率在通訊系統裡的意義
🧠 解析
（1）求期望值
由線性性質：
E[r] = E[s + n]
= s + E[n] = s + 0 = s
（2）求變異數
變異數具有可加性（若 X 與 Y 獨立）：
Var(r) = Var(s + n)
= Var(s) + Var(n) = 0 + σ² = 4
（3）求偏離超過 4 的機率
因為 n ∼ Normal(0, 2²)
所以偏離 4 等同：
n ≥ 4 或 n ≤ −4
標準化隨機變數：
Z = n/2 ∼ Normal(0, 1)
偏離 4 等價：
Z ≥ 2 或 Z ≤ −2
查常態標準分布表：
P(|Z| ≥ 2) ≈ 0.0455
所以：
P(|r − s| ≥ 4) ≈ 0.0455
（4）工程意義
這代表：
👉 在此雜訊條件下
接收值偏離原訊號超過 4 的機率約 4.55%
在通訊系統中：
✔ 這就是 誤判率／錯誤機率
✔ 若門檻偏移就可能造成位元錯誤
✔ 工程必須設計接受率、功率、雜訊控制等來降低錯誤率
🧠 工程收斂
機率能精準量化：
✔ 平均值（E[·]）
✔ 波動程度（Var(·)）
✔ 事件發生機率（P(·)）
這讓工程師能：
📌 估計系統表現
📌 設計容忍度
📌 做風險與可靠度分析
📌 決策最壞情況 vs 最佳策略
📌 工程總結
1. 工程世界一定有不確定性
2. 不確定性源於元件、環境、模型與擾動
3. 機率提供量化描述
4. 機率使工程師能做：
✔ 風險控制
✔ 設計容錯裕度
✔ 系統可靠度評估
✔ 性能優化決策
