RM的趣味數學世界005:至少要幾個球

有一天小丁從家裡到了一個袋子來學校，袋子內有白、黑、紅三色的球各3顆，下課的時候小丁就把袋子拿出來，並大聲的說：「有沒有人要玩遊戲的？」這時有一些同學就圍到小丁的身旁，小強、小賢和小珊也在其中。

小賢就說：「你要玩什麼遊戲啊！我最喜歡玩遊戲了！」

小珊在一旁也說：「對嗎！快一點說！」

小丁說：「現在這個袋子有九顆球，白、黑、紅各有三顆，如果我從袋子拿出一顆球，那這顆球是紅色的機會是多少？」

小強就大聲的說：「三分之一。」

小賢有點不屑的說：「拜託，這太簡單了吧！你有點水準好不好！」

小丁這時有點著急的說：「等一下嗎！要慢慢來，現在要問一個很難的問題喔！」

小賢說：「那就快一點。」

小丁就說：「現在請你們想一下，我要從袋子中至少取出幾個球才能保證一定可以得到至少有兩顆相同顏色的球？」

當小丁說完，全場一片沉寂，大家都絞盡腦汁的在想這個問題，這時小強突然說：「這很簡單，要拿兩顆相同顏色的球，那就拿兩顆就好了嗎？」

小賢聽到這樣的答案，就打了小強一下：「你到底懂不懂，不要耍白痴好不好，小丁你再把題目說一次，讓大家不會誤會題目的意思。」於是小丁就再把題目詳細的解釋一次。

「這樣大家清楚了嗎？」小丁說完題目後說。

過了一段時間後，小珊很興奮的說：「我想出來了答案，是四顆對不對啊！小丁。」

小丁一邊鼓掌一邊說：「小珊你好厲害喔！你可不可以幫大家解釋一下你是如何算出來的。」

小珊就得意洋洋的說：「這很簡單的，我們要用『最壞』的狀況，來想這個問題，假設第一次拿到白球，如果第二次就拿到白球，那就拿到兩個相同顏色的球了，可是第二次還有可能拿到紅或黑球，所以不能保證拿兩個球就一定會拿到相同顏色的球，現在假設第二次拿到紅球，那第三次如果拿到白或紅球那就拿到兩個相同顏色的球了，可是和前面分析的一樣，第三次我們可能拿到黑球，這樣三顆球的顏色都不一樣，所以只拿三顆球並不能保證一定會拿到兩個相同顏色的球，所以假設第三次拿到是黑球，這樣我們已經取出白、紅、黑各一顆球，無論第四次是取到什麼顏色的球，一定會是跟前三次取的其中一顆球的顏色一樣，所以取四個球一定可以保證至少有兩顆相同顏色的球。」

大家聽完小珊的分析後，就大聲的鼓掌。小丁隨後就在一旁示範，如小珊所說的每次取四個球一定至少有兩個相同顏色的球。

這時小賢有點不服氣的說：「這麼簡單，現在我出一個問題請大家想一想，現在假設袋子內有白球、黑球和紅球各四顆，還有黃球三顆，藍球和灰球各兩顆，現在至少要取幾個球才能保證所取的球當中至少有三顆顏色相同的球。」

現場又陷入一片寂靜，只見每一個人都拿出各種顏色的色筆在紙上畫圈圈。各位睿智的讀者，請你也拿起色筆加入他們的行列吧！

參考解答：

在討論這個問題的解答前，我們可以先來認識一下什麼是最差的情況，什麼是最佳的情況，最差的情況就像一句成語「屋漏偏逢連夜雨」，就好像題目中小珊所解釋的一般，因為原本小丁的題目要求的重點不是「至少」，而是在於「保證」，要怎麼做到「保證」可以完成某件事，這是一件很肯定的事，沒有模糊地帶，因此在說出「保證」二字時，一定要非常小心。而最佳的情況當然就是一切都很順心，就如同題目中小強所說「要拿兩顆相同顏色的球，那就拿兩顆就好了嗎？」要什麼就有什麼？可是這真的可以保證每次所拿的兩顆球都是同樣顏色？這當然是不可能的事。因此在處理這種「保證」的問題時，一定以最壞的情況來討論。

現在來討論小賢所問的問題，其分析如同上面所述，只是球的數量部分有所增減：「袋子內有白球、黑球和紅球各四顆，還有黃球三顆，藍球和灰球各兩顆，現在至少要取幾個球才能『保證』所取的球當中至少有三顆顏色相同的球。」最好的情況當然是只拿3顆球就拿到3顆相同顏色的球。

至於最糟的情況是要拿幾顆球呢？讀者可以想一下上面小珊的分析就可以推出應該在拿到同一種顏色的第三顆球時，其他顏色的球都已經拿到兩顆（如果每種顏色的球都至少有兩顆的話），而題目中有共有6種顏色的球，且每種顏色都至少有兩顆，因此最慘的情況就是先拿到每種顏色的球各2顆，合計12顆，這樣拿第13顆球時不管是拿到什麼顏色的球時，一定可以達成題目的要求。