— 你可以把「平面波」當成電磁波的標準樣板：它把 Maxwell 的互推關係濃縮成最乾淨的一組幾何與比例，讓你一眼看懂 E、H、S 的方向關係、能量怎麼走、以及材料怎麼決定波速與功率密度。（課綱在 V. 平面波、介質與邊界中列出本單元為第 36 單元。）
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🎯 單元學習目標 完成本單元後，你將能夠：
① 用一句話說清楚平面波：等相位面是平面、場只沿傳播方向改變② 牢記「三軸互相垂直」：E ⟂ H ⟂ k，且 S = E×H 指向傳播方向
③ 會用兩個最常用比例：|E|/|H| = η（波阻抗）、v = 1/√(με)
④ 分清楚瞬時與平均功率：S(t) vs ⟨S⟩
⑤ 把平面波當作後面反射/折射/邊界條件的起點（37–45 單元）
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🧭 一、先用一句話抓住平面波
✅ 平面波 = 波前（等相位面）是平的電磁波：在理想均勻介質中，場的大小與相位主要沿著傳播方向變化，橫向上看起來像「整片一起走」。
〰️【圖 1｜平面波的幾何：波前是平面】
等相位面（wavefront）
─────────────── φ = 常數
─────────────── φ = 常數
─────────────── φ = 常數 → k（傳播方向）
工程直覺：離天線很遠、或在均勻介質裡觀察「局部一小塊」，很多波都能近似成平面波。
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🧩 二、三個方向關係：E、H、S 的「鐵三角」 在理想平面波（均勻、各向同性介質）中，最核心的結構是：
- 橫波（Transverse）
- E ⟂ k
- H ⟂ k
也就是：場不沿著傳播方向指，而是在橫向擺動。
- 右手定則把能量方向釘死
- S = E×H
- S 與 k 同方向（能量往哪走，就往哪傳）
〰️【圖 2｜E、H、S 的三軸互垂（最重要的一張圖）】
E ↑
│
│ S →（能量流 / 傳播方向）
└────────────→ H
一句話：E 推著 H、H 又推著 E，但能量是沿著 S 往前搬運。
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📌 三、兩個必背比例：波速 v 與波阻抗 η 這兩個是平面波的工程入口。
(1) 波速（相速度）
v = 1/√(με)
- ε 越大、μ 越大 → 場能量越「黏」在材料裡 → 波跑得越慢
- 在非磁性介質常見 μ≈μ₀，所以速度主要看 ε（或 εᵣ）
(2) 波阻抗（E 與 H 的比例）
η = |E|/|H| = √(μ/ε)
- 自由空間：η₀ ≈ 377 Ω（常用記憶點）
- 介質中：ε 變大 → η 變小（同樣 E 對應較大的 H）
〰️【圖 3｜η 的工程直覺：同一個波，在不同材料裡 E/H 比例會改】
ε↑（更容易“存電場能量”） → η = √(μ/ε) ↓ → 同樣 E，需要更大的 H 來配平傳播
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⚡ 四、功率到底怎麼算：S(t) 與 ⟨S⟩ 平面波中最常用的功率語言就是坡印亭向量：
- 瞬時：S(t) = E(t)×H(t)（看尖峰、看瞬態）
- 正弦穩態平均：⟨S⟩（看真正可傳送的平均功率）
在「E、H 同相」的理想無損平面波裡（這點很關鍵）：
- ⟨|S|⟩ = E_rms · H_rms
也常寫成： - ⟨|S|⟩ = E_rms² / η = η · H_rms²
工程直覺：
- 時域抓「最危險那一下」
- 頻域/平均抓「長期到底送出多少功率」
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🧠 五、極化（Polarization）：你其實是在描述 E 怎麼擺 平面波的極化，本質上就是 電場向量 E 在橫截面上怎麼隨時間描繪：
- 線極化：E 永遠沿固定方向上下擺
- 圓極化：E 的端點畫圓（兩個正交分量等幅、相差 90°）
- 橢圓極化：更一般的情況（等幅不等 / 相差非 90°）
〰️【圖 4｜線極化 vs 圓極化（看 E 的端點軌跡）】
線極化： | | |
圓極化： ○
一句話：極化決定你跟天線、介質、邊界互動的方式（後面反射/折射會一直用到）。
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✅ 六、本單元小結
平面電磁波是「最乾淨的 Maxwell 解」：E、H 都是橫向（⟂k），且彼此垂直，能量流由 S=E×H 指向傳播方向。
材料用兩個參數就決定核心行為：波速 v=1/√(με)，以及 E/H 比例 η=√(μ/ε)。
在無損平面波中 E、H 同相，時間平均功率密度 ⟨S⟩ 可用 E_rms·H_rms（或 E_rms²/η）直接估算；而極化則是在描述 E 在橫向平面如何擺動，會直接影響天線耦合與邊界反射。
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🧪 單元數學練習題
練習 1｜算波速比例（必做）
某介質 εᵣ=9、μᵣ=1。問波速 v 相對於真空 c 的比例 v/c 為何？
✅ 解析： v = 1/√(με) = c/√(μᵣεᵣ) = c/√(1×9) = c/3，所以 v/c = 1/3。
工程直覺：εᵣ 越大，波越「被拖慢」。
練習 2｜算波阻抗（必做）
同一介質 εᵣ=9、μᵣ=1。其波阻抗 η 相對於自由空間 η₀ 的比例 η/η₀ 為何？
✅ 解析： η = √(μ/ε) = η₀ √(μᵣ/εᵣ) = η₀ √(1/9) = η₀/3，所以 η/η₀ = 1/3。
工程直覺：介質越「電性強」（ε 大），η 越小。
練習 3｜算平均功率密度 ⟨S⟩（必做）
在無損平面波中，E_rms=10 V/m，介質波阻抗 η=200 Ω。求 ⟨|S|⟩。
✅ 解析： ⟨|S|⟩ = E_rms²/η = 10²/200 = 100/200 = 0.5 W/m²。
工程直覺：同樣 E，η 越小 → H 越大 → 可承載的功率密度可能更高（要看你固定的是 E 還是 H）。
練習 4｜方向判斷（觀念題，必做）
若 E 指向 +y，波往 +x 傳（k 指向 +x），請問 H 指向哪裡？
✅ 解析： 平面波必滿足 S = E×H 與 k 同向。已知 k 向 +x，E 向 +y，要讓 E×H 向 +x，則 H 必須向 +z（因為 y×z = x）。
工程直覺：這題是在練「三軸互垂 + 右手定則」。
練習 5｜一句話（必做）
用一句話說明：為什麼平面波中「E、H 同相」時才代表能量真的往前送？
✅ 解析： 因為只有 E、H 同相時，S=E×H 的時間平均 ⟨S⟩ 才會有穩定的淨外流；若相位差接近 90°，能量更像在近場來回交換，平均外送會變小。
