風險是常態分布嗎?
常常有人說，風險呈常態分布，但真的是這樣嗎? 沒錯，看到我寫出這種題目，代表準備要「吵架」了。
不過最終考慮到篇幅和重點，我刪除了部分內容。 各位可以先參考〈華爾街物理學〉和〈股價、棉花與尼羅河密碼〉兩書內容。
1. 股價呈現常態分布。 2. 股價不是常態分布，波動才是。(而股價自己則是lognormal) 3. 波動不是常態分布，而是柯西分布。 4. 波動不是柯西分布，但屬於穩定分布。
如果大家知道這些理論演變的背景，那我開始了。
在Lévy processes in finance pricing financial derivatives一書中，作者列出一些股市指數的平均、標準差、偏度和峰度，如果用數學語言就是1階原動差(矩, moment)和2,3,4階主動差。從峰度不是3來看，我們知道股價並非常態分布。有興趣的朋友可以找原書或電子版本來看。
經過對比，人們發現股價波動既不像常態(高斯)分布這麼規矩，也不像柯西分布這麼狂野。 考慮到模型對不同峰度的適用性，萊維的穩定分布(Levy skew alpha-stable distribution)被許多民眾所接受。 畢竟不管是高斯、柯西或股價，我們都可以用不同的α來繪製。
我講得輕鬆，但有人很緊張。 如果價格波動不是常態分布，有很多金融理論都要遭殃了。 請問效率前緣用什麼來畫? 平均和「方差」。 請問期權BS的布朗運動用什麼函數來描述機率密度? 常態分布。
這時候江湖上的人性就顯現出來了。 有的人認為如果打破這個假設，那麼很多金融理論都無法繼續發展。 有的人認為，追求真相總比做出完美模型還重要。(包括Taleb和Mandelbrot等人) 我認為呢，管它怎麼發展，反正看大家辯論就是有趣。
雖然我也常在文章中提到Levy穩定，但本篇既然專講風險分布，那我就不隱瞞了。 我覺得，波動不是穩定分布。
先從尾端特性來說。 所謂肥尾，是比較不嚴謹的說法，實際上它屬於「重尾」的一種。 換句話說，「衰退」速度比指數還慢的，就是重尾。
有許多文章針對此點探討，一篇 Heavy Tailed Distributions in Finance: Reality or Myth? Amateurs Viewpoint 直接點出使用重尾分布的思考缺失。 我們很容易得出波動非常態分布的結論，但是尾端的「比例」和「衰退速度」並沒有直接關聯，因此我們不該直接認定它就是重尾分布。 作者陸續列出一些統計上的不合理性，例如時間段的取值、樣本數量、極值特性...也順便批評了其它如雙曲分布的缺點。 他的結論比較接近「混合式」的常態分佈或「Gamma分布」。
同一個作者，之後又寫了篇 No Stable Distributions in Finance, please! 簡單來說，當樣本數增加時，柯西分布和高斯分布的尾端變化不一樣。 因此如果要使用這類分布模型，α的值和樣本數n有關。 如果對應的α不穩定，我們就不能叫這類模型「穩定」分布了。
我不禁好奇，如果有學者宣稱某模型不合理，它是否能提出解決方案? 是創造一種新的分布函數，還是在既有的模型上修改，或是退回早期的領域重新研究? 也許參考歷史上的辯論，以及思考模型和現實世界的關聯，能幫助我們更清楚學界流派的演變。
例如，剛剛不是有人提到柯西分布嗎? The Distribution of Returns 一文，作者比較了不同算法對不同模型的差異，也提到了柯西分布。 考量到了現實世界中的因素，它也探討了股價、殖利率和競標等情境。 不過，我覺得整篇最吸引人的，是作者提及馬可維茲、Mandelbrot、Fama、French等人，並指出一些金融模型的缺陷。 或許大家看完文章還是沒答案，但我想這類梳理可以讓我們至少知道，學術界發生了什麼。
妳可能會問，「狂徒你心中信什麼?」
別急，我想先說完穩定分布的特性。 常態分佈是穩定分布的一支，我們都知道怎麼算「變異數」。 所以金融界才會使用均值方差模型，來計算各種波動和收益或是幫期權定價，這些我以前也說過。 但是，除了常態分布，其它穩定分布並沒有變異數的概念，或說變異數等於無限，而且其它更高階的動差(矩)也是無限。
這下子，從尾端特性、衰退速度和無限動差的角度，穩定分布都不能完美解釋。 所以，學界提出了另一種模型，Tempered (調和)穩定分布，簡稱TSD，而這也是我曾經所相信的。 如果各位想看看調和穩定的過程和推導，可以參考 Tempered stable distributions and processes. 我認為TSD的意義是讓高階動差變「有限」，而且也能處理剛剛提到的「α不穩定」問題。 在Tempering stable processes中，作者討論了不同時間長短的穩定性值，也認為調和Levy過程兼具α穩定分布性質和高斯性質。
更進一步，Roh寫了一篇Why Tempered Stable Distribution? 基本上，它描述了不同模型的缺陷和後續修正，最後提到了TS家族，包括STS, CTS, GTS, MTS, NTS, RDTS和KRTS. 由於一些缺陷，他反對使用TS，但也在後續文章中說明，價格波動應該還沒跳脫「無限可分分布」(infinitely divisible distribution)的範疇。
不過據我所知，目前大家還沒有共識，我也不知道何種分布模型最能適用於價格波動。 只能說，或許真相是在TSD附近的某處。
另一方面，如此精細的考慮模型和尾端風險，不外乎是要獲利。 不難想見的，期權定價理論如影隨形。
例如 The Modified Tempered Stable Distribution, GARCH Models and Option Pricing 中，作者討論MTS和GARCH在定價中的應用。 GARCH或許是選擇權定價中繞不過去的議題，上承ARCH，下有CGARCH、TGARCH和包含跳躍的一些模型，現在和MTS結合後，作者認為MTS-GARCH比普通GARCH還能準確的訂出真實價格波動，這就是一個嘗試將理論結合的例子。
不過不要誤會，其它TS也能和GARCH合體，不限於MTS. 例如「帶槓桿效應的無窮純跳躍Levy過程期權定價」一文，作者將TS用在Levy過程中。 他們考慮到跳躍擴散和對於尾端特徵的描述，比較TS和RDTS(速降)、高斯、複合Poisson、VG(差異Gamma)等模型差異，最後認為TS家族成員最能準確定價。
同理，TS家族中的其它成員，也可以和既有定價模型結合。 各位有興趣的話可以自行查詢，我就不堆積文獻了。 故事說到這邊，告一段落。
我喜歡看理論的發展，所以覺得以上故事情節很精彩。 而對於交易者而言，可以想見到最後大家都是在拚算力和模型，看誰比較準確和快速，就像論文總是彼此挑戰和引用。
如果有人看了這篇文章，覺得風險很複雜、期權定價好難，那麼妳是對的。 市場環境就是這麼殘酷，沒在和妳客氣。
業界和學界，每年都有無數的專家在研究這些領域，但只有一部份會公開在網路上。
對我而言，這些資料已經多到讀不完了，因此我更可以想像第一線機構的「武器庫」有多豐富。 如果你是散戶，也可以先問問自己，憑什麼有能力打贏這些「職業玩家」?
在市場上，慢一步就等著被宰，專業機構也一樣。 就像我寫的文章，巴菲特的交易對手也是機構，照樣被占便宜。
回頭看看台灣期交所的期權定價試算網站 ，這類傳統BS算出來的結果，小數點還只有一位，或許可以讓散戶知道大概的價錢，但完全沒有競爭力。 然而綜觀台灣介紹選擇權的文章，能提到傳統BS模型已經算有良心了，更多人都在強調「風險有限獲利無限」。 對比之下，我們身為散戶，能接觸到的模型和知識確實差學界和業界許多，長期獲利的可能性自然很小。
或許風險的分布模型還沒有標準答案，但這不妨礙我們繼續追求更合理、精確的模型，也不會阻擋交易者應用到市場上。 雖然有時候理論發展是「進兩步退一步」，不過把這種過程當成歷史故事來看，對我們而言也有許多助益。
最後，我沒有相關專業背景，一切知識來自於網路和書籍，因此如果有說錯的地方，歡迎告知。 或許各位看完這篇文章，也會同意「知識是動態的」，這比標準答案有趣多了。
1. 華爾街的物理學
2. 股價、棉花與尼羅河密碼 (或是市場的錯誤行為)
12. Roh文章中提到的書: Handbook of Computational Statistics: Concepts and Methods
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