沉浸式的排列組合列舉過程｜兄妹共舞

如題，看完媗日出的這些又簡單又不簡單的排組(1)題目之後，在我驚豔於題目的難度以及媗日妹妹原來是數資班學生（以後不敢亂發教學文了😨😨）之餘，本咚還來不及回到家動筆解題，就已經被小松鼠大大用漂亮的錯位排列及排容原理順利破解。

雖然，在上一篇機率的排列組合 – 在數學上要多加留意題目裡的「換句話說」本咚有提到「窮舉」會算到累壞自己，也容易出錯，但如果在保證不出錯的前提之下，其實列舉也是可以把題目作完的。

尤其是錯位排列和排容原理，這兩個解法都有點神乎其技，其觀念三言兩語難以說得清楚，同時還要讓大家能夠理解。

所以本咚這次嘗試用「算是列舉」的方式，一步步帶大家用相對樸實的方式來解題，目的是希望大家都能理解並吸收。

如果大家喜歡，之後可以再換題目嘗試看看：）
底下準備開始，歡迎大家拿起紙筆跟本咚一起動腦🥰

處理題目之前，先講一個本咚在解排列組合時喜歡用的解法：

遇到有多種選擇的時候，先把可以選擇的數量寫下來，就可以假設其中一種結果，繼續討論下去。

然後，在計算方面：

• 會連續發生的情況，使用乘法原理，就是把數字乘起來。
• 不會連續發生的情況，使用加法原理，就是把數字加起來。

舉個小例子，假設有甲乙丙丁四種套餐，本咚要從這四種套餐裡選出三種來當作本日的三餐，但甲套餐太油了，本咚不想拿來當早餐，有幾種可能呢？

1. 早餐只有乙丙丁3種選擇，先寫3，再假設選到了乙餐。
2. 選午餐的時候，就只剩下甲丙丁3種選擇，所以再寫下3，然後再假設選到了丙餐
3. 最後晚餐只剩甲丁2種選擇，寫下2，沒了。

最後早午晚三餐是連續發生，所以數字相乘，答案是3×3×2＝18種選擇。

如果是要討論早餐吃C餐或早餐吃D餐的情況，也可以分開列舉，最後再相加。

以上，熱身完畢，我們來看題目。（會緊張的話，先深呼吸，接下來會是小小的腦力激盪，但算數學最重要的是要有解題的信心！）

一次處理一題，我們先從兄妹跳舞的題目開始。

題目

n對兄妹共舞，若每一兄均不與其妹為舞伴，則共有       種情形。

n=1的話不可能，所以答案是0種。

只要試著把n從2討論到5，答案就出來了。假設哥哥為ABCDE，妹妹為abcde

兩對兄妹

很明顯，不選自己妹妹的情況下，A哥哥只能選b妹妹、B哥哥同樣只能選a妹妹，所以結果只有1種可能。

讓我們多停留片刻，把兩對兄妹只有1種配對方式這個結果先記在腦袋裡。

準備好的話，我們繼續。

三對兄妹

現在A哥哥有b、c兩個妹妹可以選擇，回到前面說的，寫下數量2，並假設A哥哥選到了b妹妹。（剩下B,C,a,c=兩對不完整的兄妹)

現在B哥哥只能選c妹妹（不然C哥哥就沒得選了），所以情況就只剩下1種選擇，所以答案是2×1=2種可能。

同樣，稍微停留片刻，整理一下思路。

我們在三對兄妹這邊理解到，三對兄妹只有2種配對方式。

同時彙整一下，兩對兄妹，或是兩對不完整的兄妹，都只有1種配對方式。

四對兄妹

現在A哥哥有b、c、d三個妹妹可以選擇，還是回到前面說的，寫下數量3，並假設A哥哥選到了b妹妹。（剩下B,C,D,a,c,d）

要選擇其他妹妹也可以，但用一樣的情況來舉例，會有助於看出差別。

在B哥哥選擇的時候，就會陷入一個岔路：

• 如果B哥哥選擇a妹妹，剩下C,D,c,d就回到兩對兄妹的情況：1種
• 如果B哥哥選擇c或d妹妹...等等，有2種選擇，那麼先寫2，再選c妹妹
  如果B哥哥選c妹妹，剩下C,D,a,d，等同於兩對不完整的兄妹的情況：也是1種。

這樣從B哥哥開始，一共有1×1+2×1=3種可能。

同時再次歸納出：剩下B,C,D,a,c,d(三對不完整的兄妹)的情況有3種配對方式。

1×1是B選a(只有1種選擇)之後，C,D,c,d也只有1種選擇
2×1則是B選擇c或d之後，會剩下1種選擇。

結合A哥哥的3種選擇，總共3×3=9種。也可以歸納成四對兄妹=9種配對方式。

五對兄妹

終於來到題目講的5對兄妹了～～！！撐著點孩子們，我們看到勝利的曙光了！！

現在A哥哥有b、c、d、e四個妹妹可以選擇，寫下數量4，並假設A哥哥選到了b妹妹。
（剩下B,C,D,E,a,c,d,e）

在B哥哥選擇的時候，一樣會陷入岔路：

算數學的時候陷入岔路很正常，人生也是滿滿的岔路啊啊啊

• 如果B哥哥選擇a妹妹，剩下C,D,E,c,d,e就回到三對兄妹的情況＝2種。
• B哥哥另外還有c,d,e妹妹三種選擇，寫下3，選下c
  如果B哥哥選擇c妹妹，（剩下C,D,E,a,d,e）等於三對不完整的兄妹的情況=3種。

這樣從B哥哥開始，一共有1×2+3×3=11種可能。

同時再次歸納出，剩下B,C,D,E,a,c,d,e(四對不完整的兄妹)的情況有11種配對方式。

算式＝4×11=44。

嘗試看看：六對兄妹

本來想說出成大家的作業，怕看到這裡的人不多，於是本咚再幫大家列列看。

這次就不講太多想法了，直接列算式：

A有bcdef5種選擇，寫5

• 若B選a，剩四對兄妹=9種
• 若B不選a，有cdef4種選擇，寫4，剩下C,D,E,F,a,d,e,f四對不完整兄妹=11種

從B哥哥開始，一共有1×9+4×11=53種可能。（五對不完整兄妹）

結合A哥哥的5種，答案=5×53=265種可能。

結語

假如學校每一題都採取這種教學模式，即便有黑板、教具等輔助工具，恐怕也很難花上足夠的時間讓每個學生都聽懂。

但只要肯用心，數學是一定可以理解的。

大學數學除外，微積分什麼的，那些對本咚來講是天書：）