機率的排列組合 – 在數學上要多加留意題目裡的「換句話說」

最近，努力準備數學段考的高一、高二學生們真的辛苦了，高一是排列組合與機率，高二是條件機率(排列組合和機率的延伸)，雖然少部分學校教學進度和內容稍有不同，但不管哪一個章節，都需要花費不少心力來準備。

當然還有快要會考的國三生，還有其他每一個年級、每一個年紀的孩子、朋友都要加油：）

我們在解數學問題的時候，最難的往往不是那些計算過程，而是題目裡的「換句話說」，也就是把一段看似複雜難懂的敘述，梳理成自己理解的文字，並能藉此來列式並計算出答案。

本文分享機率的兩道問題，也順道和本咚其他文章一樣，稍微提煉出一些心得與感想。

解題之前，先補充必要的公式和觀念

• 機率＝題目要的可能／所有的可能
• 一題機率，當作兩題排列組合（分子一題、分母一題）
• 運用乘法原理，把每一次會發生的可能性連續相乘，就是所有可能(畫樹狀圖的意思)
• 排列組合有時會把物品看作相同，機率一律視為不同
• 如果分母用排列算，分子就也用排列算；反之分母用組合算，分子就也用組合

後兩項適合準備考試的學生來看就好，本文不會多加著墨。

題目一

擲一顆公正的骰子三次，點數分別記為a、b、c，試問(a-b)(b-c)(c-a)≠０的機率為何？

轉化

明明是擲骰子點數的問題，卻出現未知數，又有括號和相乘，看似延伸到多項式去了，但我們可以先思考一下，三個括號相乘不等於０，代表三個括號本身都不能等於0，也就是a-b≠0、b-c≠0、c-a≠0，再移項變成a≠b、b≠c、c≠a，也就是a、b、c之間兩兩互不相等，所以我們可以把題目轉化成：

擲一顆公正的骰子三次，三次點數互不相同的機率為何？

像這樣的問法，在排列組合的前半段應該就有提及過了。

而像這樣將括號、相乘、不等於0，轉化成點數互不相同的動作與思維，就是換句話說。

我們先把題目算完，後續再來補充想法。

分母的部分，擲三次骰子，每次點數都有6種可能，所以分母＝6×6×6=216

分子則是第一次擲骰有6種可能，之後每次都要減少1種可能(不能跟前面的一樣)，所以分子＝6×5×4=120。

答案便是6×5×4／6×6×6＝120／216。（考試當下寫答案的時候再約分至最簡即可）

補充想法

平心而論，這種轉化的技巧，難度遠遠大過後續的計算，但這就是數學裡最精妙的地方。說真的，針對這些變化，老師完全可以草草帶過了事，畢竟一來學生對數學的熱忱可能有限，二來這種技巧講起來過於繁瑣，而且每個人的思路各不相同，有可能老師的想法學生考試臨場完全想不到。或是學生的想法也許和解答稍有不同，但只要觀念合理，答案正確，就是合適的作法。

講白一點，老師們之所以熟練，也是因為專精一科，而且作過的題數夠多。對學生來說，學習的時間有限，還有不只一科的壓力，如果真的難以跟上，暫時把解法背起來也是一種短期應急的方法。

只是，背解法還是要小心運用，例如說......

題目二

擲一顆公正的骰子四次，點數分別記為a、b、c、d，試問(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)≠０的機率為何？

如果沒見過題目一可能還好，遇到題目二的時候還能當作一道新的題目來學習。

可偏偏學生通常都是學完題目一才遇到題目二，然後就會想要列出以下的式子：

6×5×4×3／6×6×6×6（先提醒，這樣列是錯的）

錯在哪？

回顧一下前面轉化的部份，三個括號相乘不等於０，確實等同於兩兩之間互不相等，但這樣的想法到四個括號就不太正確了。

舉個例子，第一次擲出4，第二次擲出3，第三次擲出4，第四次再擲出3，雖然過程中有出現同樣的點數，但仍舊滿足題目的列式。

像這種情況，就是數學題目（尤其是排列組合）當中最容易忽略的地方，我們很容易陷入一種慣性思維，感覺用一樣的解法就能解出所有題目。

那擲骰四次的情況要如何轉化呢？如果只是要求相鄰的兩次之間點數不能相等，那麼在乘法原理的章節中我們曾經遇過一種題型：塗色問題。

如上圖，四個格子當中，有6種顏色可以塗色（對應骰子結果1~6），相鄰兩格不同色，共有幾種塗法？

假如按照Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ（第一次→第二次→第三次→第四次）的順序來塗色，我們需要考量ＡＣ同色或異色的情況

• 若ＡＣ同色＝6×5×1×5（Ｃ只能跟隨Ａ的顏色，而Ｄ只要和ＡＣ不同色即可）=150
• 若ＡＣ異色＝6×5×4×4（Ｃ不能跟Ａ同色，而Ｄ同樣只要和ＡＣ不同色即可）=480

150+480=630=題目二當中的分子。

分母=6×6×6×6=1296；答案就是630／1296。

結論

在數學上，我們經常要留意題目裡暗藏的「換句話說」，也就是轉化法，可以幫助我們快速釐清題意，用比較方便的算法求出答案。雖然說排列組合本身就是一種「計數」的觀念與練習，原則上硬是用「窮舉」的方式（一個一個列）也是可以找出答案。但每題如果都窮舉到底，累死自己不說，還極有可能過程中出現錯誤。

然而，就算是極其相似的兩道機率問題，轉化的方式仍有可能南轅北轍、截然不同，請同學解題前一定要多加留意，像這樣的例子在數學上和生活上族繁不及備載，生活上的例子歡迎各位格友底下留言分享。