行程問題

甲乙兩輛汽車分別以不同的速度同時從A、B兩城相向開出，第一次在離A城80公里處相遇。相遇後兩車繼續以原速度前進，到達目的地又立刻返回，第二次相遇在離A城50公里處。求A、B兩城之間的路程？

感謝媗日同學又一次快速又正確的解答～本咚決定直接編輯文件，明天會在底下補充答案，如果有想嘗試的朋友歡迎再動腦想想看，待會再到底下來看解答唷。

解答

這題難就難在，我們明明知道時間相同的情況下，「速率比＝距離比」，但題目沒給完整的長度，所以我們需要設個未知數，方便計算：

假設第一次相遇時，甲車距離Ｂ城尚有ｘ公里。

也可以說成：每當甲車前進８０公里，乙車就前進ｘ公里。（這個想法很重要）

接著我們分別討論不同的狀況：（以下均稱第一次相遇於Ｃ點，第二次相遇於Ｄ點）

• 1.第一次相遇後，甲車折返前就被乙車追上。

這個是最容易判斷的情況，如下圖所示

很明顯，不符合題目提及「第二次相遇時在離Ａ城５０公里處（ＡＤ長度）」，因此與題意矛盾，假設不成立。

• 2.第一次相遇後，乙車折返前就被甲車追上。

這樣乍看之下合理多了，但詳細計算就會發現端倪：

(1)由於ＣＤ＝ＡＣ－ＡＤ，所以應該要等於８０－５０＝３０。
(2)由於甲第二次再度前進了８０公里，應該要等於３ｘ（ＢＣ重複兩次，加上ＣＤ）
所以ｘ＝８０／３

兩個答案不可能同時滿足ｘ，所以再次產生了矛盾。

但藉由上述兩個矛盾，我們得到一個重要的結論：

甲乙第二次相遇，必然是兩車都已經折返才相遇

最後，我們就能得到最正確的圖形（如下圖，其實和媗日所畫相同，只是本咚拆解成兩個部分）

（↑由圖可看出ＣＤ＝８０－５０＝３０）

解法一

本來想借用Unclebigrun跑大哥的列式，不過想了一下，太多未知數有點造成混亂，還是用媗日的好了🤣

• 第一次相遇，甲走ＡＣ、乙走ＢＣ，距離比＝８０：ｘ
• 第二次相遇，甲走ＣＢ＋ＢＤ、乙走ＣＡ＋ＡＤ，距離比＝（ｘ＋ｘ＋３０）：（８０＋５０）

兩次的距離相等（距離比＝速率比）

８０：ｘ＝（２ｘ＋３０）：１３０，內項乘內項＝外項乘外項

→２ｘ²+３０ｘ＝１０４００→ｘ²＋１５ｘ－５２００＝０

十字交乘得（ｘ＋８０）（ｘ－６５）＝０，ｘ＝－８０（不合）、６５

故ＡＢ全長＝８０＋６５＝１４５公里＃

解法二

這個解法比較神奇，是看中國的教學網站學來的，不需要設未知數，但同樣建立在兩車都必須折返的前提上

• 第一次相遇時，甲＋乙一共走了１個全程。
• 第二次相遇時，甲＋乙一共走了３個全程。（因為都折返）

每當甲＋乙走一個全程時，甲走了８０公里。所以第二次相遇時，甲一共走了８０×３＝２４０公里。

而實際上，第二次相遇時，甲只差最後５０公里，即可走完兩個全程（上圖紫色處）

因此，２４０＋５０＝全程×２

→全程＝２９０÷２＝１４５公里＃