行程問題

閱讀時間約 2 分鐘

甲乙兩輛汽車分別以不同的速度同時從A、B兩城相向開出,第一次在離A城80公里處相遇。相遇後兩車繼續以原速度前進,到達目的地又立刻返回,第二次相遇在離A城50公里處。求A、B兩城之間的路程?



感謝媗日同學又一次快速又正確的解答~本咚決定直接編輯文件,明天會在底下補充答案,如果有想嘗試的朋友歡迎再動腦想想看,待會再到底下來看解答唷。








解答

這題難就難在,我們明明知道時間相同的情況下,「速率比=距離比」,但題目沒給完整的長度,所以我們需要設個未知數,方便計算:

假設第一次相遇時甲車距離B城尚有x公里

也可以說成:每當甲車前進80公里乙車就前進x公里。(這個想法很重要)

接著我們分別討論不同的狀況:(以下均稱第一次相遇C點第二次相遇D點

  • 1.第一次相遇後,甲車折返前就被乙車追上

這個是最容易判斷的情況,如下圖所示

raw-image

很明顯,不符合題目提及「第二次相遇時在離A城50公里處(AD長度)」,因此與題意矛盾,假設不成立。

  • 2.第一次相遇後,乙車折返前就被甲車追上
raw-image

這樣乍看之下合理多了,但詳細計算就會發現端倪:

(1)由於CD=AC-AD,所以應該要等於80-50=30。
(2)由於甲第二次再度前進了80公里,應該要等於3x(BC重複兩次,加上CD)
所以x=80/3

兩個答案不可能同時滿足x,所以再次產生了矛盾。

但藉由上述兩個矛盾,我們得到一個重要的結論:

甲乙第二次相遇,必然是兩車都已經折返才相遇

最後,我們就能得到最正確的圖形(如下圖,其實和媗日所畫相同,只是本咚拆解成兩個部分)

raw-image

(↑由圖可看出CD=80-50=30)

解法一

本來想借用Unclebigrun跑大哥的列式,不過想了一下,太多未知數有點造成混亂,還是用媗日的好了🤣

  • 第一次相遇,甲走AC、乙走BC,距離比=80:x
  • 第二次相遇,甲走CB+BD、乙走CA+AD,距離比=(x+x+30):(80+50)

兩次的距離相等(距離比=速率比)

80:x=(2x+30):130,內項乘內項=外項乘外項

→2x2+30x=10400→x2+15x-5200=0

十字交乘得(x+80)(x-65)=0,x=-80(不合)、65

故AB全長=80+65=145公里#

解法二

這個解法比較神奇,是看中國的教學網站學來的,不需要設未知數,但同樣建立在兩車都必須折返的前提上

  • 第一次相遇時,甲+乙一共走了全程
  • 第二次相遇時,甲+乙一共走了全程。(因為都折返)

每當甲+乙走一個全程時,甲走了80公里。所以第二次相遇時,甲一共走了80×3=240公里。

而實際上,第二次相遇時,甲只差最後50公里,即可走完兩個全程(上圖紫色處)

因此,240+50=全程×2

→全程=290÷2=145公里#

跟大家分享我的想法以及我的所見所聞 很多事情沒有對錯 多想想 多思考
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