《社會菁英必備的數學素養》: 你有數學素養嗎?

這本書的起源來自於疫情期間，作者以數學家的角度，在網路上發表文章，幫大眾解讀疫情的統計數字是什麼意思，我看完這本書以後不禁感嘆，如果我更早理解這些概念就好了。

統計數字怎麼看？

為什麼要做統計？ 因為現實中，我們不可能拿到每個真實數字，所以我們利用一個小樣本的結果來推算總體的結果，前提是這些小樣本要有足夠的隨機性與代表性，這也是為什麼街頭的民調結果與真實結果相距甚遠，因為街頭的訪問雖然隨機，但隨機的路人並無法代表台灣的人口組成，自然就無法以這個小樣本的數據推算最後的結果。既然是推算的結果，一定存在與真實數字的差距，所以一個有效的統計報告通常會這麼說：「信賴區間 95 %，誤差範圍 +- 3%」，什麼是「信賴區間」與「誤差範圍」呢? 誤差範圍比較好理解，如果說統計結果是「某候選人支持度40%，誤差範圍 3%」，就代表真實的數字可能介於43(40+3)% ~ 37(40-3)% ，而信賴區間則是代表一個信心值，因為統計樣本有隨機性，不同的抽樣，有可能得到不同的統計結果，而信賴區間代表的是如果重複這個統計好幾回，有多少機率會包含真實結果，如果信賴區間 95%，代表有 95%的機率包含真實結果。

信賴區間與誤差範圍會互相影響，假設我們設定很大的誤差範圍，例如+- 10%，我們當然會有極高的信賴區間包含真實結果，但這樣的統計數字就沒有意義，因為即使知道候選人的真實支持度有100%的機率落在30%-50%之間，我們還是很難推測真實數字為何。相反的，如果我們設定很小的誤差範圍，例如+-1%，但信賴區間只有50%，代表有五成的機率39%-41%的範圍沒有包含真實數字，這樣的統計數字一樣沒有幫助，所以以後看新聞，如果看到一些聳動的統計數字，先別著急，先看看這些數字後面的信賴區間為何。

疫苗到底有沒有用

我們用疫苗的例子來說明統計學的「虛無假設」。新藥可不可以上市，來自於新藥的臨床統計數字，假設我們已知 70 歲以上男人每年有1%的機率會死亡，現在疫苗公司將新藥試用在 1000 名隨機挑選的 70 歲以上男人上，發現僅有 5 人死亡，我們是否該核准該藥上市呢？ 如果光看數字，原本根據統計，應該有10人會死亡，現在使用新藥後降成一半，看來新藥效果很顯著，但另一方面，我們知道 1%只是統計結果，不代表每年一定會死 10 人，所以 5 人可能只是一個隨機的結果。

要怎麼判斷呢？統計學有個很重要的理論「虛無假設」，意思是我們應預設新藥是沒有效的，除非結果顯著不同，該結果產生的機率低於隨機產生的機率，我們才足以推翻原本「新藥無效」的假設，在統計學上，我們將該機率稱為 p 值，當 p 值越小，就代表該結果越不可能發生，如果真的發生了，就是我們假設錯誤，也就是我們可以推翻原本的虛無假設。習慣上， 我們常把 p 值設為 5 %，如果低於 5%，我們就足以認為該結果不是隨機產生，而是有意義的數據。回到新藥的例子，每年有1%死亡機率，1000 人中有 5 人死亡的隨機機率為6.6%，還未低於 5%，因此代表我們的測試結果 5 人死亡很有可能只是一次幸運的隨機結果，不一定是新藥帶來的作用，然而 5% 的閥值沒有數學意義，只是約定俗成，因此也不表示新藥一定無效，只是還未達到統計的顯著性。

普篩到底有沒有用?

讓我們試著用統計學來討論疫情期間大家爭論不休的一個題目：「要不要普篩？」我們知道所有的檢測方式都不是100%準確，我們用「特異度」來表示「沒有染病的人檢測結果正確」的機率，用「敏感度」來表示「有染病的人檢測結果正確」的機率，PCR 是疫情期間最可靠的檢測方式，根據統計，PCR的檢測敏感度為 80%，特異度是 99.5%，假設我們對 1000 名隨機受試者普篩，假設染病率為1%，因此我們預期 1000 名受試者有 10 人確實染病，因為敏感度為80%，所以有8人會被正確檢測出陽性，而2人錯誤檢測出陰性。在未染病的 990 人中，正確檢測出陰性有 99.5% 的機率，人數為 985 人，而錯誤檢測出陽性的機率則為 5 人，所以我們會得到 13 個陽性結果，而真正染病的機率是 8/ 13 = 62，這顯示在隨機普篩的結果下，即使是像 PCR 這麼可靠的檢測方式，也會得出不可信任的陽性結果，僅僅六成而已，因此我們應該可以理解為什麼當初政府一直沒有做大規模普篩，因為錯誤的檢測結果會加重醫療系統的負荷，使真正需要醫療的人無法獲得幫助。

        染病     未染病
------+-------+-------
陽性   + 8     + 5   
------+-------+-------
陰性   + 2     + 985
------+-------+-------
      + 10    + 990​

當時的政策是如果你有出現咳嗽發燒的症狀，再去做篩檢，讓我們同樣用統計學來看看這麼做會帶來什麼結果。我們假設有症狀的人，每 11 人有 1 人是真正染病的人，機率大約是9％，因為只有出現症狀的人才會去做檢測，我們同樣假設是1000名受試者，但現在染病的機率從原本隨機的1%變成有出現症狀的9%，如果再一次計算檢測出陽性，且真的染病的機率會大大提升成93.5%，這個方法得以上讓真正需要醫療的人獲得幫助。

       有症狀   沒有症狀
------+-------+-------
染病   + 5     + 5
------+-------+-------
沒染病 + 50    + 940
------+-------+-------
      + 55    + 945

       染病     未染病
------+-------+-------
陽性   + 72    + 18
------+-------+-------
陰性   + 5     + 905
------+-------+------- 
      + 77    + 923​      

檢視兩個方法最大的差別在於染病率，在大規模的隨機試驗中，染病率是1%，而出現症狀的人染病率會大幅提升，當染病率越高，就能讓檢測出陽性，且真的染病的機率大大提升，所以普篩不是不能做，但前提是我們已知該病的染病率非常高，檢測出陽性且正確的機率很高，只要檢出陽性，我們就強迫病人隔離，限制病人活動是防疫的有效方法，但政府在防疫的同時，也要考慮這些被迫隔離的人，無法工作，將會損失收入，對社會經濟造成影響，所以「要不要普篩」其實是一個取捨問題，而不是非黑即白的是非題。

感想

我們一路從小學開始學數學，一路學到大學，可能有不少人覺得出了學校，這些數學根本用不上呀。我覺得那是因為我們學數學的時候，很少跟現實的例子結合，例如我們都學過斜率，給我幾個點，可以算出連結這些點的斜率，但算這個要做什麼用呢？放到現實中，斜率可能代表感染速度，根據斜率，我們就可以推算出未來的感染人數。這本書不是在講數學理論，而是想要培養一個普通人的對數字的感覺，難怪書名叫作「數學素養」，看來以後我們不只需要文學素養，音樂素養，也需要來點數學素養了。