《社會菁英必備的數學素養》: 你有數學素養嗎?

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這本書的起源來自於疫情期間,作者以數學家的角度,在網路上發表文章,幫大眾解讀疫情的統計數字是什麼意思,我看完這本書以後不禁感嘆,如果我更早理解這些概念就好了。


統計數字怎麼看?

為什麼要做統計? 因為現實中,我們不可能拿到每個真實數字,所以我們利用一個小樣本的結果來推算總體的結果,前提是這些小樣本要有足夠的隨機性與代表性,這也是為什麼街頭的民調結果與真實結果相距甚遠,因為街頭的訪問雖然隨機,但隨機的路人並無法代表台灣的人口組成,自然就無法以這個小樣本的數據推算最後的結果。既然是推算的結果,一定存在與真實數字的差距,所以一個有效的統計報告通常會這麼說:「信賴區間 95 %,誤差範圍 +- 3%」,什麼是「信賴區間」與「誤差範圍」呢? 誤差範圍比較好理解,如果說統計結果是「某候選人支持度40%,誤差範圍 3%」,就代表真實的數字可能介於43(40+3)% ~ 37(40-3)% ,而信賴區間則是代表一個信心值,因為統計樣本有隨機性,不同的抽樣,有可能得到不同的統計結果,而信賴區間代表的是如果重複這個統計好幾回,有多少機率會包含真實結果,如果信賴區間 95%,代表有 95%的機率包含真實結果。

信賴區間與誤差範圍會互相影響,假設我們設定很大的誤差範圍,例如+- 10%,我們當然會有極高的信賴區間包含真實結果,但這樣的統計數字就沒有意義,因為即使知道候選人的真實支持度有100%的機率落在30%-50%之間,我們還是很難推測真實數字為何。相反的,如果我們設定很小的誤差範圍,例如+-1%,但信賴區間只有50%,代表有五成的機率39%-41%的範圍沒有包含真實數字,這樣的統計數字一樣沒有幫助,所以以後看新聞,如果看到一些聳動的統計數字,先別著急,先看看這些數字後面的信賴區間為何。


疫苗到底有沒有用

我們用疫苗的例子來說明統計學的「虛無假設」。新藥可不可以上市,來自於新藥的臨床統計數字,假設我們已知 70 歲以上男人每年有1%的機率會死亡,現在疫苗公司將新藥試用在 1000 名隨機挑選的 70 歲以上男人上,發現僅有 5 人死亡,我們是否該核准該藥上市呢? 如果光看數字,原本根據統計,應該有10人會死亡,現在使用新藥後降成一半,看來新藥效果很顯著,但另一方面,我們知道 1%只是統計結果,不代表每年一定會死 10 人,所以 5 人可能只是一個隨機的結果。

要怎麼判斷呢?統計學有個很重要的理論「虛無假設」,意思是我們應預設新藥是沒有效的,除非結果顯著不同,該結果產生的機率低於隨機產生的機率,我們才足以推翻原本「新藥無效」的假設,在統計學上,我們將該機率稱為 p 值,當 p 值越小,就代表該結果越不可能發生,如果真的發生了,就是我們假設錯誤,也就是我們可以推翻原本的虛無假設。習慣上, 我們常把 p 值設為 5 %,如果低於 5%,我們就足以認為該結果不是隨機產生,而是有意義的數據。回到新藥的例子,每年有1%死亡機率,1000 人中有 5 人死亡的隨機機率為6.6%,還未低於 5%,因此代表我們的測試結果 5 人死亡很有可能只是一次幸運的隨機結果,不一定是新藥帶來的作用,然而 5% 的閥值沒有數學意義,只是約定俗成,因此也不表示新藥一定無效,只是還未達到統計的顯著性。


普篩到底有沒有用?

讓我們試著用統計學來討論疫情期間大家爭論不休的一個題目:「要不要普篩?」我們知道所有的檢測方式都不是100%準確,我們用「特異度」來表示「沒有染病的人檢測結果正確」的機率,用「敏感度」來表示「有染病的人檢測結果正確」的機率,PCR 是疫情期間最可靠的檢測方式,根據統計,PCR的檢測敏感度為 80%,特異度是 99.5%,假設我們對 1000 名隨機受試者普篩,假設染病率為1%,因此我們預期 1000 名受試者有 10 人確實染病,因為敏感度為80%,所以有8人會被正確檢測出陽性,而2人錯誤檢測出陰性。在未染病的 990 人中,正確檢測出陰性有 99.5% 的機率,人數為 985 人,而錯誤檢測出陽性的機率則為 5 人,所以我們會得到 13 個陽性結果,而真正染病的機率是 8/ 13 = 62,這顯示在隨機普篩的結果下,即使是像 PCR 這麼可靠的檢測方式,也會得出不可信任的陽性結果,僅僅六成而已,因此我們應該可以理解為什麼當初政府一直沒有做大規模普篩,因為錯誤的檢測結果會加重醫療系統的負荷,使真正需要醫療的人無法獲得幫助。

        染病     未染病
------+-------+-------
陽性 + 8 + 5
------+-------+-------
陰性 + 2 + 985
------+-------+-------
+ 10 + 990

當時的政策是如果你有出現咳嗽發燒的症狀,再去做篩檢,讓我們同樣用統計學來看看這麼做會帶來什麼結果。我們假設有症狀的人,每 11 人有 1 人是真正染病的人,機率大約是9%,因為只有出現症狀的人才會去做檢測,我們同樣假設是1000名受試者,但現在染病的機率從原本隨機的1%變成有出現症狀的9%,如果再一次計算檢測出陽性,且真的染病的機率會大大提升成93.5%,這個方法得以上讓真正需要醫療的人獲得幫助。

       有症狀   沒有症狀
------+-------+-------
染病 + 5 + 5
------+-------+-------
沒染病 + 50 + 940
------+-------+-------
+ 55 + 945

染病 未染病
------+-------+-------
陽性 + 72 + 18
------+-------+-------
陰性 + 5 + 905
------+-------+-------
+ 77 + 923

檢視兩個方法最大的差別在於染病率,在大規模的隨機試驗中,染病率是1%,而出現症狀的人染病率會大幅提升,當染病率越高,就能讓檢測出陽性,且真的染病的機率大大提升,所以普篩不是不能做,但前提是我們已知該病的染病率非常高,檢測出陽性且正確的機率很高,只要檢出陽性,我們就強迫病人隔離,限制病人活動是防疫的有效方法,但政府在防疫的同時,也要考慮這些被迫隔離的人,無法工作,將會損失收入,對社會經濟造成影響,所以「要不要普篩」其實是一個取捨問題,而不是非黑即白的是非題。


感想

我們一路從小學開始學數學,一路學到大學,可能有不少人覺得出了學校,這些數學根本用不上呀。我覺得那是因為我們學數學的時候,很少跟現實的例子結合,例如我們都學過斜率,給我幾個點,可以算出連結這些點的斜率,但算這個要做什麼用呢?放到現實中,斜率可能代表感染速度,根據斜率,我們就可以推算出未來的感染人數。這本書不是在講數學理論,而是想要培養一個普通人的對數字的感覺,難怪書名叫作「數學素養」,看來以後我們不只需要文學素養,音樂素養,也需要來點數學素養了。


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